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1、解读教材典型例题，打通数学任督二脉 110 考研数学典型例题解读考研数学典型例题解读 如何利用教材进行有效的复习， 是大部分同学面临的主要问题。 考研数学主要是对同学 们“三基”的考查，因此复习数学的时候要抓住教材，好好利用教材。怎样才能更有效地利 用教材进行复习，下面就如何来复习教材中的典型例题进行解读。 本文主要的目的：教会如何更有效地读懂例题、利用例题及模仿例题；学习如何来复习 理解数学及解题方法。 注：本文以同济五版高等数学为蓝本。 一、 求极限一、 求极限 【求分式极限【求分式极限( )lim( )x x 整体思路】整体思路】共分为三种情况： （令( )lim( )xIx =） （1
2、）若lim( )0x，则有lim( ) lim( )xIx =； （2）若lim( )0x=，lim( )0x，则有I = ； （3）若lim( )0x=，lim( )0x=，则属于0 0型未定式，则可用罗比达法则、等价无穷小代换等进行求解。 求解分式极限时，首先要快速判断属于（1） （2） （3）哪种情况，对号入座，然后决定 解决问题的方法及方式。 例 1 （P58 例 5）求1 230(1)1limcos1xx x+ 解：解：当0x 时，1 23(1)1x+21 3x，cos1x21 2x，所以 12 230021 (1)123limlim1cos13 2xxxx xx+= 【解读】【解读
3、】当0x 时， 【注释注释 1：说等价无穷小时，一定要标明是在哪种极限形式下的等价无穷小，这是因为等价无穷小是用极限来定义的；此处说的是“当当0x 时”时” 。 】 1 23(1)1x+21 3x， 【注释注释 2：看到此式，首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小代换公式11x+1(0)2xx 和11nx+1(0)xxn（此处也可以写成11+ ?1(0)2?和11n+ ?1(0)n?） ，由此套用公式立即可以得到 解读教材典型例题，打通数学任督二脉 210 1 23(1)1x+21 3x。 】 cos1x21 2x， 【注释注释 3：看到此式，首先要想到要求必须记住的一个常用的等价无穷小
4、代换公式1 cosx21(0)2xx （此处也可以写成1 cos?21(0)2?） ，由此套用公式立即可以得到cos1x21 2x。 】 所以 12 230021 (1)123limlim1cos13 2xxxx xx+= 【注释注释 4：此题完全用等价无穷小代换解决。当然也可以用 Taylor 公式进行求解，不过过程比较麻烦一些。此题为0 0型未定式，若用罗比达法则会相当麻烦，不过大家可以尝试一下。 】 【注释注释 5：做完此题后，要掌握注释中的三个等价无穷小代换公式，做到熟练应用，最好能 达到条件反射。 】 例 2 （P68 例 8）求3 sin0lim(12 )xxx + 解:解: 因为
5、 1 23166ln(1 2 )sin2sinsin(12 )(12 )xxxxxxxxxxe+=+= 利用定理 3 及极限的运算法则，便有 1 2 0lim 6ln(1 2 )3sin6sin0lim(12 )x xxxxxxxee + += 【解读】【解读】 因为1 23166ln(1 2 )sin2sinsin(12 )(12 )xxxxxxxxxxe+=+= 【注释注释 1：上式的第一步是要凑出来重要极限，因此要对第二个重要极限的形式非常熟悉才行。第二个重要极限如下：()10lim 1e +=? ?和1lim 1e +=?。之所以写成这样的形式，是让大家能明白， 只要我们能凑成这两种标
6、准形式之一就可以用这个公式， 不用管里是什 么。最后一步应用的是换底公式，见注释 4】 利用定理 3 及极限的运算法则，便有 【注释注释 2： 定理 3 表明当外函数连续时， 极限号可以和外函数调换位置， 这里的xe是外函数。 】 1 2 0lim 6ln(1 2 )3sin6sin0lim(12 )x xxxxxxxee + += 解读教材典型例题，打通数学任督二脉 310 【注释注释 3： 极限的运算法则指的是两个乘积函数的极限都存在时可以写成两个函数极限的乘积。即11 22000lim6ln(12 )6limlimln(12 )6 1 16sinsinxxxxxxxxxxx+=+= =】
7、 【注释注释 4：此题总的解题思路是：这是求幂指函数的极限，存在两种情况：一是用第二个重 要极限，二是用换底公式。我们要熟练掌握这两种情况，特别是第二种情况，它的适用范围 更广。 】 【注释注释 5：换底公式主要是针对类似于( )( )( ( )0, ( )v xu xu xu x不恒等于1)的幂指函数。对于这类函数可以采用以下方式进行求解：( )lim ( )ln ( )lim ( )v xv xu xu xe=即转化成求 lim ( )ln ( )v xu x的极限。 】 例 3 （P136 例 10）求20tanlimsinxxx xx解：解：233000tantantanlimliml
8、imsinsinxxxxxxxxxx xxxxx= 222000sec12sectan1tan1limlimlim3633xxxxxxx xxx= 【解读】【解读】233000tantantanlimlimlimsinsinxxxxxxxxxx xxxxx= 【注释注释 1：通过题目可以看出这是0 0型极限，所以首先可以考虑用罗比达法则，但是由于分母比较复杂，求导不方便，所以需要进行变换一下再用罗比达法则】 220sec1lim3xx x= 【注释注释 2：对上式应用罗比达法则而得。得到的仍然是0 0型极限。 】 202sectanlim6xxx x= 【注释注释 3：再次应用罗比达法则，这时
9、发现20limsec1 xx =， 0tanlim1 xx x=（注意这是重要极限 0sinlim1 xx x=的一个变形，最好也要记住） 。因此有】 01tan1lim33xx x= 【注释注释 4：此题给我们一个提示，在使用罗比达法则时，一定要先简化（变换或使用等价无 穷小代换） ，以减少运算量。 】 【注释注释 5：此题另外的解法：直接使用等价无穷小代换即可，即由sin x (0)xx 将分母变成3x，余下的步骤同上。 】 解读教材典型例题，打通数学任督二脉 410 二、 求导数二、 求导数 例 1 （P93 例 1）1sinxye=，求y。 解：解：1111sinsinsinsin21
10、1 111()(sin)cos( )cosxxxxyeeeexx xxx= 【解读】【解读】111sinsins1sinin21 111()(sin)cos( )1cosxxxxyeeeex xxxx= 【注释注释 1：复合函数求导数，主要是每一步要把一部分看成一个整体。题目中红色带框的部 分就是每一步看作整体的部分，自己要仔细领会一下，把这一部分看明白了，到了多元函数 的复合函数求导就会更轻松】 【注释注释 2：复合函数求导数的题型都不难，关键是要细心，步步为营，稳扎稳打】 例 2 （P104 例 4）求由方程1sin02xyy+=所确定的隐函数的二阶导数22d y dx。 解：解：应用隐函
11、数的求导方法，得 11cos02dydyydxdx+= 于是 2 2cosdy dxy=上式两边再对x求导，得 22232sin4sin (2cos )(2cos )dyyd yydx dxyy=上式右端分式中的是由方程1sin02xyy+=所确定的隐函数。 【解读】【解读】应用隐函数的求导方法，得 11cos02dydyydxdx+= 【注释注释 1：两边同时对x求导数，整理得】 于是 2 2cosdy dxy=上式两边再对x求导，得 22232sin4sin (2cos )(2cos )dyyd yydx dxyy=【注释注释 2：两边同时再对x求导，得到含有dy dx的表达式，将2 2c
12、osdy dxy=代入整理即得】 解读教材典型例题，打通数学任督二脉 510 上式右端分式中的是由方程1sin02xyy+=所确定的隐函数。 【注释注释 3：隐函数求导所得的表达式里一般都含有, x y，这个一般情况下是没法避免的。但是解题的时候大家最好把结果化成最简的情况】 【注释注释 4：求解22d y dx可以先不整理第一式，直接两边再对x求导，即 222222223sin114sinsincos022cos2(2cos )dyyd ydyd yd yydxyydxdxdxdxyy+=】 三、 求不定积分三、 求不定积分 例 1 （P193 例 4）求21xx dx解：解：设21ux=
13、，则2duxdx= ，即1 2duxdx=，因此 3 122233 222111()322 2 11(1)33uxx dxuduCuCxC= = += += +【解读】【解读】设21ux= ，则2duxdx= ，即1 2duxdx=，因此 【注释注释 1：由于根号里面x为的平方，外面为x的一次方，因此可以把x的一次方放入微分号里（凑微分法） ，即2211(1)22xdxdxdx= ，因此可以用代换21ux= 】 1 2211()2xx dxudu= 【注释注释 2：将 u 代入不定积分可以得到1 21 2u du，此不定积分可以套公式】 3 32 2 11211 23uCuC= += + +3
14、 221(1)3xC= + 【注释注释 3：将21ux= 再代入还原即可得到原不定积分的原函数】 解读教材典型例题，打通数学任督二脉 610 【注释注释 4：第一类换元法也称为凑微分法，事实上其难点就在于如何观察题目并凑出相应的 微分，凑出微分后用相应的代换就行】 例 2 （P202 例 24）求224axdxx解：解：设1xt=，那么2dtdxt= ，于是 2 12222 22 4241()(1)1aaxdttdxa tt dtxt t= = 当0x时，0t，有 122 2 22 22 423 2 2223 222231(1)(1)2(1) 3() 3axdxa td a txaa tCaa
15、xCa x= = += +当0x时，0t，有 1 2 22122 2 22 22 42(11(1)(1)2)a ttdaxdxa td a ttxa= 解读教材典型例题，打通数学任督二脉 710 【注释注释 3：整理一下，可以将t放入微分号里即有2dt，然后套用公式13 222 3x dxxC=+】 3 2 222(1) 3a tCa= + 【注释注释 4：将1tx=再代入还原即可得到原不定积分的原函数】 3 22223() 3axCa x= + 当0x时，有相同的结果。 【注释注释 5：对于0x时的情况可以做同样的考虑。不过建议最后再把两种情况综合一下给出一个答案，比如：综合以上可知，3 22222423() 3axaxdxCxa x= +】 【注释注释 6：用三角代换求解 令cosxat=，则224axdxx44sin(sin )cosatat dtat=2241sin cost
