《加权L(B^dR)空间中的精确Jackson不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《加权L(B^dR)空间中的精确Jackson不等式（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 1 4 年 1 2月 高等 学校计 算数学学 报 第 3 6卷第 4期 加权 2 ( B d R ) 空间中的精确J a c k s o n 不等式 谷懿 刘永平 ( 北京师范大学数学科学学院， 数学与复杂系统教育部重点实验室， 北京 1 0 0 8 7 5 ) THE S HARP J ACKS ON I NE QUAL I TY F OR L2 APPR0XI M ATI oN 0N TH E CY LI N DER Gu Yi L i u Yo n g p i n g ( S c h o o l o f Ma t h e ma t i c a l S c i e n c e s
2、， B e i j i n g N o r ma l U n i v e r s i t y ， B e ij i n g 1 0 0 8 7 5 La b o r a t o r y o f M a t he m a t i c s a nd Co mp l e x S y s t e ms ， Mi n i s t r y o f Ed u c a t i o n ， B e ij i n g 1 0 0 8 7 5 ) Ab s t r a c t D e n o t e b y L ( R， “ )t h e we i g h t e d L 2 一 s p a c e o f f u
3、 n c t i o n s o n t h e c y l i n d e r I B d R o f f d +1 ) 一d i me n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e R“ + ， w h e r e B “i s t h e u n i t b a l l o f R ， a n d t h e w e i g h t f u n c t i o n “ ( z ) ( B ) i s r e l a t e d t o t h e r e fl e c t i o n g r o u p a s s o c i a t e d w i
4、 t h s o me r o o t s y s t e mL e t r ( ， j 7 - ) 2 d e n o t e a g e n e r a l i z e d c o n t i n u o u s mo d u l u s o f r i o r d e r d e fi n e d o n L ( B R， “ ) ， a n d T n ， + d e n o t e t h e fi r s t p o s i t i v e z e r o o f t h e Ge g e n b a u e r c o s i n e p o l y n o mi a l ( C
5、 O S 0 ) f o r e a c h 凡N I n t h i s p a p e r ， t h e s h a r p J a c k s o n i n e q u a l i t y i n t h e s p a c e L ( R， ) 一1 ， ( ， ) 2 ， ( 丁 ， r ) ( 厂 ， 7 _ ) 2 ， 丁 2 ， A + i s c o n s i d e r e d ， wh e r e t h e c o n s t a n t n ( 7 - j r ) i s t h e mi n i mu m p o s i t i v e c o n s t a
6、 n t s u c h t h a t t h e r e h o l ds a bo v e i n e q ua l i t y， a nd t he s h a r p c o ns t a n t n ， ( r )s a t i s f y i n g t h e f o l l o wi ng c o nd i t i o n s I S g i ve n ， ( 2 ， + ， r ) 1 ， r 1 1 n ， ( 2 丁 n ， + ， ) 2 ( 一 r ) 2， 0 0 )为傅里叶变换后支集在 j=0 一 ， I 彳 J = ， 的 r 阶 磁 模 定 义 为 这里 X
7、 表示 L 。 ( r ) 或 L ( R) 对于 fL 。 ( r ) ( 或 fL ( R) ) ， 函数空间 ( 或 ( R) ) 对 f的最佳逼近是 ( ， ) L 。 ( 面 ) =i n f ll， 一 g IIL 2 (T ) ： g ) ( 或 (m： (R ) = in f llf 一 夕 lIL 2 (R ) ： 9 ( R ) ) 令 ( ) 是 J a c k s o n不等式 ( ， ) 。 ( 丌 ) ，r ( ) ( ， ， ) L ( T ) 3 6 2 谷懿等： 加权 L 。 ( B R) 空间中的精确 J a c k s o n不等式 第 4期 的最小常数1
8、 9 6 7 ， C h e r n y k h 4 ， 5 证 明了， 对任意整数 佗 1和实数 7 r ，精确不等式 一l ( (T ) 1时的结果 一1 ( f ) L ( T ) r 2 ， 2Z 2 丌 r2 ( 2 ) 分别被 I b r a g i mo v和 N a s i b o v 引 ， P o p o v 各 自独立证明 ( 3 )由 P o p o v 证明 对于多元情况， 令 - 1 = X =( X l ， X 2 ， ， X d ) ： X +X l + +z 3 =1 ， R 是 d 维欧式空间R 中 的单位球面， B = =( X l ， X 2 ， ， X
9、 d ) ： X i + X ； + ； 1 ， X R ) 是 R 中的单位球 1 9 8 1 年， Y u d i n 1 3 将 C h c r n y k h的结果推广到 ， ( 礼 2 ) 的情况， 他 证明了一阶连续模的精确 J a c k s o n不等式 对于函数空间 ( s d _ ) ， A r e s t o v 和 P o p o v 2 证 明了 d=3 ， 4的情况 Ba b e n k o 0 】 给出了 d 5 ， r 1的结果 孙环在她的硕士论文 1 4 中证明了加权 。 ( B 。 ) 空间的 J a c k s o n不等式 A V I v a n o v
10、和 V I I v a n o v 。 。 证明了对 于 r=1时， 带幂权的 2 ( R )中的精确 J a c k s o n不等式 A V I v a n o v _ 1 1 _ 证 明了 r=1时 带 J a c o b i 权的 2 ( ) 中的精确 J a c k s o n不等式 在 【6 和 7 中， 我们分别得到了加权的 。 ( B ) 和 ( 璐 X ， ) 中的精确 J a c k s o n 不等式 在本文中， 我们考虑加权空间 ( B X R) 上的 J a c k s o n不等式， 得到了类似的结果 2 0 1 4 年 1 2月 高 等 学 校 计 算 数 学 学
11、 报 3 6 3 1 2 加权 空间中的记号 对于非零向量 VR ， 令 表示过垂直于 V的超平面的反射 即 X 0 “ ：=X 一2 ( llv ll 。 ) ， X R ， 这里 表示 向量 和 的欧式 内积， 而 J = 为通常的欧氏范数 权函 数 h 由下式定义 ( ) =I I I ” ， R ， ( 4 ) vCR + 其中， R+是 R 中固定的正根系， 它满足规范化条件 =2 对所有 uR+成立 ： V 是定义在 R+上 的非负多重函数， 满足 ， 在 ： 口R + )生成的反射群 G中，当 盯 共轭于 时，有 = 成立 那么 ( ) 在反射群 G作用下保持不变， 此时 G作为
12、 一个正交群的子群 在单位球 B d上， 我们考虑加权 w 的 L 2空间中的逼近问题， 权函 数有形式 ( ) = ( ) ( 1 一 。 ) ，z B ， ( 5 ) 其 中， 0和 h 由 ( 4 ) 定义 它包含了下面的单位球上经典权函数 ( ) =( 1 一 。 ) ， B ， ( 6 ) ( 取 ( ) = ) 令 。 ， 表示 的规范化常数， 即 。 ( ) d z= ( ) ， 1 P ) (y ) 略 ( ) 曲 ， ( 1 2 ) t，B d 。 其 中 ， X = ( ， 、 工_= ) ， y = ( ， 、 i_二 ) ， 单 变 元 函 数 叫 (t ) ： ( 1
13、 一 t z ) 一 2 = A + ， 定义在 _ 1 ， 1 】 上， 且 = + ， = R 广义卷积 ( 1 2 ) 的另一种 表示是对于某个函数 T o ( ； 厂 ) 有 7 r ( ， ， _9 ) (z ) = 6 + T o ( ； ， ) (z )g ( c o s ) (s in ) 。 A + 2 d 0 (1 3 ) 0 成立 其中， T o 是广义平移算子 ( 以上内容来自徐源的文章 1 5 ) 以下需要一些记号来描述我们的结果 令 L 2 ( B R， ) 是在 B R上加权 的平方可积函数空间， 赋予范数 L 2 ( 璐 R， ) 如下： ， II ) ：= (
14、 I ， 。 )捌 ) 1 满 足F ( ， ) l + E ， 。 + 0 ， 丁 】 _ 其 中 系 数 ， k N ， 是 非 负 的 且 满 足 = 1 1 本引理的证明与 3 中的 A r e s t o v引理证明相似， 我们在此略去 3 定理 1 1的证明 崮定 B “ 一 对于 p r o j ， ( ， ) L ( R) nL ( R) ， 用 p r ， ： 去 R p r ( ) e d ， 表示p r ( x ， ) 关于 Y的傅里叶变换 定义函数 G ， 如下： 一 g k ， ( ， t ) ：( G k ， 厶) ( ) ： =p r o j ； ， ( ， ) ( ) ， t 一 J ；( ， ) ( ) ：0 ，其他 根据 Hi l b e r t 理论， 特别是 P a r s e v a l 等式，有 _ 1 J， 一 k =0眠 B R， Jft J Jp r )( ) Jj 2 (2 ) lIL 。 (B R ， ) 三 l 1 I ， ， 、 注意到， ( 1 6 )中定义的平移算子 ， ( W B ； ) 可以写成 (嗡 ， )( ) = 妻 k=O p ( 2 2 ) ， ( ； ， ) ( ) = 晡 ， + 叩
