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1、全国全国 2011 年年 4 月自学考试月自学考试线性代数试题线性代数试题一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.下列等式中，正确的是（D）A.B. 20010020010211233693456456C.D.1051002120120 0350352.设矩阵 A=，那么矩阵 A 的列向量组的秩为（B）100 220 340 A.3 B.2 C.1 D.0【解】行秩=列秩非零行有 2 行，秩是 2100100100 220020020 340040000 3.设向量=（-1，4） ，=（1，-2） ，=（3，-8） ，若有常数 a,b 使 a-1 2 3 1
2、b-=0,则（A）2 3 A. B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2 D.a=1,b=21,2ab 【解】a-b-=1 2 3 3030 42804280abab abab 解得1,2ab 4.向量组=（1，2，0） ，=（2，4，0） ，=（3，6，0） ，=（4，9，0）1 2 3 4 的极大线性无关组为（A） A.， B.， C.， D.，1 4 1 3 1 2 2 3 【解】123412341234,2469000100000000TTTT 行阶梯形非零行 2 行，秩是 2.极大无关组含 2 个向量，行阶梯型第二阶只有，4所以必选，其余三个中任选 1 个向量。45.下列矩阵中，是
3、初等矩阵的为（C）A. B. C. D.111 010 001 200 020 002 108 010 001 108 018 001 【注注】初等矩阵：初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵E （1）对调两行（两列） ；（2）用数乘某行（列） ；0k （3）用数乘某行（列）加到另一行（列）的对应元素上去.k6.设 A、B 均为 n 阶可逆矩阵，且 C=，则是（C） 0B A01CA. B. C. D.11B0 0A 110B A0 110A B0 11A0 0B 【解】【注】 0B A011E00A 0EB0 11AAA AE7.设 A 为 3 阶矩阵，A 的秩 r(A)
4、=3，则矩阵 A*的秩 r(A*)=（D） A.0 B.1 C.2 D.3【解】伴随矩阵的秩：；*( ) ()1( )1 0( )1nr An r Ar An r An 8.设=3 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（D）11 4AA. B. C. D.4 33 43 44 3【解】，的特征值是，1 1144 AA1A111 3的特征值是 【注】 （1）；14A4114433111()kAAk（2）矩阵A( )f A1A*A1PPA特征值( )f1 A特征向量 1P 9.设矩阵 A=，则 A 的对应于特征值=0 的特征向量为（B）100 212 312 A.（0，0，0）T
5、B.（0，2，-1）T C.（1，0，-1）T D.（0，1，1）T【解】，()0AE x100100212012312000AE 解得基础解系 ，故所有特征向量为， B 与只差符号，0 2 1 (0)kk故是特征向量。 【注】特征向量不唯一. 10.下列矩阵中是正定矩阵的为（B）A. B. C. D.12 23 33 36 03 31 10 01 【解】选项 C、D 的元素不大于零，故排除。，所以选项 A 排11a121023 除。选 B.【注】定义定义 则称该二次型为正定二次型正定二次型T 12( ,)0nf x xxx Ax正定二次型的矩阵称为正定矩阵正定矩阵.定理定理 元二次型正定的充
6、分必要条件有： nTf x Ax （1）矩阵的所有特征值均为正数；（2）的各阶顺序主子式都大于零.（顺AA 序主子式是指 1 阶、2 阶、行列式） 二、填空题（本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式=_2_. 12.设矩阵 A=，B=（1，2，3） ，则 BA= 111 123 14911 22 31 .(14,0)【解】11. 12.111111111 1230120122 14903800211 (1,2,3) 22(14,0) 31BA 13.行列式中第 4 行各元素的代数余子式之和为.3040 1111 010
7、0 5322 24【解】第 4 行各元素的代数余子式之和恰为行列式值，3 22 33040340340111134111111111240100345223405322 ()()()14.设 A，B 为 n 阶方阵，且 AB=E，A-1B=B-1A=E，则 A2+B2_.2E【解】AB=E，A-1B，B-1A， A2+B21BA1AB2BE2AE2E15.设向量=（1，2，3，4） ，则的单位化向量为. 1(1,2,3,4)30【解】222212343016.设 3 阶方阵 A 的行列式|A|=，则|A3|=.1 21 8【解】，|A3|ABA B31 8A17.已知 3 维向量=（1，-3，
8、3） ，=（1，0，-1）则+3=. (4, 3,0) 18.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的秩为 n-1，则齐次线性方程组Ax=0 的通解为.1 11xk 19.设 1，2，n 是 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值，则矩阵 A 的行列式|A|=.!n 20.二次型的秩为_3_.123121323( ,)f x x xx xx xx x【解】 11221233xyyxyyxy 123121323( ,)f x x xx xx xx x22 1213231323yyy yy yy yy y22222 121313232()yyy yyyyy平方项 3 项.标准形是只含平方项
9、，如.标准形所含的项数为二次型的秩.22 1222fzz三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.已知矩阵 A=，B=，111 210 101 100 210 021 求：（1）ATB； （2）| ATB |.【解】ATB121100541 110210110 101021121 | ATB |54142042110110211121121 22.设 A=，B=，C=，且满足 AXB=C，求矩阵 X.123 221 343 21 53 13 20 3 1 【解】 123 100123100 (A E)221 010025210 343 001026301 123100
10、102110102110 025210025210015/2 11/20 001111001111001111 100132 0103/235/2 001111 11323/235/2111A 21 1021 1001 52()53 0111 211121B E 112110 31 01 520152 13152B1113213313/235/220521113 1XA CB 1 1213102104520210423.求向量组=(1,2,1,0)T，=（1,1,1,2）T，=（3,4,3,4）T，=（4,5,6,4）1 2 3 4 T的秩与一个极大线性无关组.【解】1234113411342
11、1450123(,)1136000202440244 行阶梯形的非零行是 3 行，故向11341134 01230123 00020002 00020000 量组的秩是 3.（或）是向量组1234, 124, 134, 的一个极大无关组.1234, 24.判断线性方程组是否有解，有解时求出它的解.12341234134xx3xx1 2xxx4x2 x4x5x1 【解】113111131121142017501045101762A 1044110409 01750017010 0001200012 ，有无穷多解. 若, 则有无穷多组解( )( )34r Ar AR( )R( )nAA解得基础解系为，特解为通解，为任意常数4 7 1 0 9 10 0 2 94 107 01 20xk k25.设向量=（1，1，0）T，=（-1，0，1）T，1 2 （1）用施密特正交化方法将，化为正交的，；1 2 1 2 （2）求，使，两两正交.3 1 2 3 【解】 （1）取111 1 0 21 221 1111(,)1 ( 1) 1 00 101(,)1 1
