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1、120102010 浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（数学类） 一、计算题：1解：原极限=11221 0.511lim 121nn nnnnnenn 2解：令, ,xts yts 原积分 2222112exp1Rtsdtds 22222 1expRxydxdy22 1 =3解： 落在椭圆 内的充分必要条件即为到222xyy22221xy ab0,1的距离。而 22221xy ab1d 2222minmincossin1df tatbt要求最小值, 只需 讨论, 可得 2222sin2 sin1 f tabatbt0,/2t222222222/
2、bbabbaaaba 时 b-1 时 充分必要条件为 222222242 bbabbbaa bba 时 时 此时椭圆面积 1Sabd取得最小值时必有222 2 2 2 bbabaS 时 记222224bbaa bba 时 11cos cos sinaxbxx 即易得为2sincos 0,/4/ sin cosxxxsxx 时 的最小值min2 2S椭圆的最小面积为。222xyy包围圆的min2 2S4解：原积分=222sadydzbdzdxcdxdy0.5222222sabcabcds 20.5222Aabc 5解： 2201 24expxfxf xxxtf t dt 1 221f xx fx
3、 24221fxfxf4214ffxf 1111212121nnnnnfxfnffnf而 21111 12 10 10 1nffeffn 21112213 1221 ! 2nnnfnfnen 二、解：即单调增且1111100max,nnnnaax dxadxana111,2a 设则即有界。01,na111000max,1,nnaax dxdxna可知收敛记其极限为,有naa11200max,1/ 2aaaa x dxadxxdxa1a 三、证明： 0 0,xfxfxa bxta b 若不妨设为则且 可取得 /2ftfx有1f 11bafxbafx或时即有 2/2 /2bbaafxft dtf
4、bf afxft dtf bf a或当时x , lim0 xa bf x 又 lim0xfx 四、证明：（1） )()()(,yfxfyxfyx( )f x单调增 0,1 1/21xnNnx 使得 11nf xf nxf 1/2f xnx（）.50) 1 ()1 ()()(.500.500.50010dxfdxxfdxxfdxxf五、证明：由条件 存在中有限个数,不妨设为,其最大公约数为 1。G 1,2,jajk本题即要证：存在正整数 N，当正整数 nN 时，方程有非负整数1 1kka xa xn解。先证明：若的最大公约数为 1， 有非负整数解。, a baxbynnab易知被除的余数都不相同
5、，则必与某一，被除的余数相同，即,2 ,aaabbnmab3被整除，有非负整数解nmabaxbyn若最大公约数为 则 有非负整数解。, a b,axbya b n/,naba b有非负整数解。 （最大公约数为）11,axbycza xb ya bczn, ,a b c一般的有 有非负整数解。对充分大的。1 1kka xa xnn（工科类）一、计算题： 1 （解答见数学类第一题第 1 小题）2解： 222211 2123 5 122122xx xxxxxx221ln 1arctanln22arctan15xxxxx 原积分=2 53解：记 ,sinsinsincoscoscosf B CBCBC
6、BCBC,coscossinsin0BfB CBCBBCB,coscossinsin0CfB CBCCBCCcossincossin /2BBCCBCBC或 舍去cos 2cossin 2sin0/3/3BBBBBACBmax,1.531f B C min,1f B C 4 （解答见数学类第一题第 4 小题）5解： 0.5220.50.502exp2xfxfxxtf t dtxfx fx 1311ff 二、 （解答见数学类第二题）三、解： 0.50.50.52322220001441441 /32Vr dstt dttt dt22.51.52 112213232 53ttdttt211204四
7、、证明：2222expexpexpexp2222xxxtttxxdtxdttdt五、证明： 223tan, tan1tan1tan/3xxxxxxxx 易知 3sin/6xxx.,3sin2tan222xxx（经管类）一、计算题1解原极限=11 111/41lim 11nnnnnnnnnnnnenn 2解：原积分2sinsintantancoscoscosxxx xxeexexdxe dxdxexcxxx3 （解答见工科类第一题第 3 小题）4解：111133 43 56182222Dxy dxdy 5解： 220222xx tfxfeft dtxffxfxx 02f 二、解： 设圆的半径为，
8、三角形边长为，则有ra2223222 3anrrarn221 823nn naA n 23 4Aalim2 3nnA A三、证明： ( )( )( )xfxeP xP x( )( ) P xP xa是5次多项式 必有零点 设为 若是重零点 则 k ( )( )kP xP xxaQ x ( )( )0Q xkQ a是5次多项式且 若 kxafxaf是奇数当经过时改变符号是 的极值点。若 5,kQ xkQ xf是偶数是次的可得必有一奇数重零点必有极值点。5(2) ( )( )P xP xf的奇数重零点只能是奇数个,的极值点必是奇数个。四、 （解答见工科类第四题） 五、 （解答见数学类第二题）（文专类）一、计算题1解： lim4 xf x g x 22limlim0 xxf xg xf xg x 2、 （解答见经管类第一题第 2 小题） 3、 （解答见数学类第一题第 3 小题）4解：1222165214.4Vxdx 5、 （解答见经管类第一题第 5 小题） 二、 （解答见经管类第二题）三、解：221 1 1 122221 1 1 122111 12111dxxxdxdxxdxxxx12111 221dx x2 4四、 （解答见数学类第二题） 五、 （解答见经管类第三题）
