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1、 2003-2004 学年第二学期高等数学 B（下） 期终试卷-1 高等数学高等数学 B（下）期终考试试卷评分标准（下）期终考试试卷评分标准 2004 年 7 月 一.填空题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 函数),(yxf在点()00, yx处有偏导数()00, yxfx，()00, yxfy的充分条件是 C . (A),(yxf在()00, yx处连续 (B),(yxf在()00, yx处沿l方向有lf （C）),(yxf在()00,yx处可微 (D)()00,yxfxy存在 2. 设曲面由曲线 =+0122322zyx，绕y轴旋转而成，则在点()2, 3, 0处指向外侧的单位法向量
2、为 53,52, 0. 3. 设函数),(yxf连续，且+=Ddyxfxyyxf),(),(，其中D：20 x，10y，则= Ddyxf),( A . （A）1 （B）0 （C）1 （D）2 4. 设曲线的方程为tx=，2ty=，3tz=，若上与平面0=+dczbyax平行的切线恰有 2 条，则cba,应满足关系式032 acb()0c. 5. 设L是 以()0,1A，()0,1B，()1,0C为 顶 点 的 三 角 形 的 正 向 边 界 ， 则()()=+ Ldyxxdxyxy222 1 . 6. 设)(xf是 周 期 为2的 周 期 函 数 ， 它 在 区 间1, 1(上 的 表 达 式
3、 是=,1,1,),(22yxyyyxyxf计算二重积分=DdyxfI),(，其中D是由双曲线122=yx及直线0=y，2=y所围成的平面区域. 2003-2004 学年第二学期高等数学 B（下） 期终试卷-3解 +=2211210yydxxydyI+2211221yyydxxdy 由对称性，02211210=+yydxxydy +2211221yyydxxdy()+=2123 2132dyyy()2125 21152 +=y ()24525152= 即()24525152=I 五.（10 分）设是由旋转面：()22lnyxz+=与平面hzz=,0（0a，讨论=+1!)()2)(1 (nnan
4、anaaa?的收敛性. 解 记nnananaaaa!)()2)(1 (+=?， aanan aannnn1 ) 1(1limlim1=+= +当1a时，级数收敛； 当1a时，级数发散； 当1=a时，1+= nan，级数发散. 2.（8 分）把函数xxxf+=11arctan)(展开成x的幂级数，并指出展开式成立的区间 解 211)(xxf+= =02) 1(nnnx（11x） 4)0(=f，=+ +=012 12) 1( 4)(nnn xnxf11x 八（A） （8 分）用高等数学教材者解答用高等数学教材者解答 设函数)(xf有二阶连续的导数，且满足0)0(=f，1)0(= f. 如果对任意闭
5、曲线L，积分 0)()(2=+ Ldyxfdxyxfx试求)(xf. 解 由条件xQ yP =，得微分方程 2xff=+ ， 2003-2004 学年第二学期高等数学 B（下） 期终试卷-5特征方程的根ir=，令cbxaxf+=2*，代入方程， 得 1=a，0=b，2=c. 故 2sincos)(2 21+=xxCxCxf xxCxCxf2cossin)(21+=） ，代入初始条件，解得21=C，12=C， 2sincos2)(2+=xxxxf 八（B） （8 分）用微积分教材者解答用微积分教材者解答 设直线L： =+=+ ,3, zyaxbyx在平面上，而是曲面22yxz+=上点()5 , 2 , 1处的切平面. 求a与b之值. 解法一 的法向量()1, 4 , 2=n?的方程0542=+zyx（*） L的方向()a=1,1,1?由n?，得1=a 在L上取点()3,0bb代入（*）得32=b. 解法二 的法向量()1, 4 , 2=n?过L的平面束：03)1 ()1 (=+bzyxa（*） nn?|，令141 21 =+=+a， 得31=，1=a 又点()5 , 2 , 1，有03)6(=+ba， 代入1=a，31=，得32=b
