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1、2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编概率与统计（理科）概率与统计（理科）（2010 浙江理数）浙江理数）19.(本题满分 l4 分)如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C，则分别设为 l，2，3 等奖 （I）已知获得 l，2，3 等奖的折扣率分别为50，70，90记随变量为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；(II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动，记随机变量为获得 1 等奖或 2
2、等奖的人次，求)2(P（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （20） （本小题满分 12 分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求p； （）求电流能在M与N之间通过的概率；（）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望（2010 辽宁理数）辽宁理数） （18） （本小题满分 12 分）为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做试验
3、，将这 200 只家兔随机地分成两组，每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B。（）甲、乙是 200 只家兔中的 2 只，求甲、乙分在不同组的概率； （）下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表 1：注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（）完成下面 22 列联表，并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面 积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.表 3： （20102010 江西理数）江西理数）18. （本小题满分 12 分）某迷宫有三
4、个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列； （2）求的数学期望。（2010 重庆理数）重庆理数） （17） （本小题满分 13 分， （I）小问 5 分， （II）小问 8 分） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一 起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1
5、,2,6） ，求： （I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。（20102010 北京理数）北京理数）(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为4 5，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123p6 125ad24 125()求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； ()求p，q的值；()求数学期望E。（2010 四川理数）四川理数） （17） （本小题满分 12 分）
6、 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1 6.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （）求中奖人数的分布列及数学期望 E.（20102010 天津理数）天津理数） （18）.（本小题满分 12 分）某射手每次射击击中目标的概率是2 3，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率（）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中
7、目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记为射手射击 3 次后的总的分数，求的分布列。（2010 广东理数）广东理数）17.(本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上 40 件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,495， （495,500，（510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图 4 所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 （2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 50
8、5 克的产品数量，求 Y 的分布列（3）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率（20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数）(18)(本小题满分 12 分)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)记X表示投
9、到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望 （2010 湖南理数）湖南理数）17 （本小题满分 12 分） 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图 （）求直方图中 x 的值 （II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样） ，求月均用 水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望。（2010 安徽理数）21、 （本小题满分 13 分）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝
10、这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。现设4n ，分别以1234,a a a a表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234Xaaaa，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述。()写出X的可能值集合； ()假设1234,a a a a等可能地为 1,2,3,4 的各种排列，求X的分布列；()某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ，(i)试按()中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立） ；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。（2010 浙江理数）浙江理
11、数）解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、 二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。()解：由题意得 的分布列为507090p3 163 87 16则 =3 1650+3 870+7 1690=3 4.（）解：由()可知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为3 16+3 8=9 16.由题意得 （3，9 16）则 P（=2）=2 3C(9 16)2(1-9 16)=1701 4096.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、 互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生
12、分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解 答题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这 应引起高度重视. （2010 辽宁理数）辽宁理数）解：（）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为99 198 100 2002100 199CPC 4 分（） （i）图注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间，而注射药物 B 后的疱疹 面积的中位数在 70 至 75 之间，所以
13、注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱 疹面积的中位数。 8 分 （ii）表 3：2 2200 (70 6535 30)24.56100 100 105 95K由于 K210.828，所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。 12 分（20102010 江西理数）江西理数） 【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。（1）必须要走到 1 号门才能走出，可能的取值为 1，3，4，61(1)3P，111(3)326P，111(4)
14、326P，2 2111(6)() 1323PA 1346分布列为：（2）11117134636632E 小时（2010 重庆理数）重庆理数）（20102010 北京理数）北京理数）解：事件iA表示“该生第i门课程取得优秀成绩” ，i=1,2,3，由题意知14()5P A ，2()P Ap，3()P Aq（I）由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“0”是对立的，所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是61191(0)1125125P ，（II）由题意知12316(0)()(1)(1)5125PP A A Apq123424(3)()5125PP A A ApqP1 31 6
15、1 61 3整理得 6 125pq ，1pq由pq，可得3 5p ，2 5q .（III）由题意知123123123(1)()()()aPP A A AP A A AP A A A=411(1)(1)(1)(1)555pqpqp q37 125(2)1(0)(1)(3)bPPPP =58 1250(0) 1(1)2 (2)3 (3)EPPPP =9 5 （2010 四川理数）四川理数）解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=1 6P(A B CA A)=P(A)P(B)P(C)=15252( )66216A答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25 2166 分（2）的可能值为 0,1,2,3P(=k)=3 315( ) ( )66kkkC(k=0,1,2,3)所以中奖人数的分布列为0123P125 21625 725 721 216E=0125 21
