《量子力学答案第十章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学答案第十章（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 154第十章第十章 全同粒子全同粒子10.110.1 两个自旋为的全同粒子组成一个体系，问体系对称的自旋23波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？解解 ，体系的可能值为231S232SS，21SSS121SS221SS21SS 于是031221323 232121212121SSSSSSSSSS当给定时，可取个值，故SzS12 S时，取 7 个值3SzS 0123时，取 5 个值2SzS 012155时，取 3 个值1SzS01时，取 1 个值 00SzS于是，总共应有 16 个状态。对每个粒子而言，因，其在方向投影可取232, 1Sz个值，即，故每个粒子可能4123212lzS121,2
2、32zS有 4 个态，即对第一个粒子有，) 1 (21) 1 (21) 1 (23) 1 (23对第二个粒子亦有，)2(21)2(21)2(23)2(23由它们可组成 16 个彼此独立的可能组合：=， =)1( S) 1 (21)2(21)2( S) 1 (21)2(21=， =)3( S) 1 (23)2(23)4( S) 1 (23)2(23156)2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 (23 21 21 2323 23 23 2321 23
3、 23 2121 21 21 2121 23 23 2121 23 23 21)10()9()8()7()6()5(SSSSSS)2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 ()2() 1 (23 21 21 2323 23 23 2321 23 23 2121 21 21 2121 23 23 2121 23 23 21)6()5()4()3()2()1(AAAAAA第一、二组是对称态共 10 个，第三组是反对称态共 6 个，在这些态中，的本征值列表如下：zSSzS
4、本征值2S2) 1(hSS本征值zShSm33 2 1 0 -1 -2212h3h 2h h 0 -h -2h -3h157-322 1 0 -1 -226h2h h 0 -h -2h11 0 -122hh 0 -h 000010.210.2 一个体系由三个全同的玻色子组成，玻色子间无相互作用，玻色子只有两个可能的单粒子态，问体系的可能状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解解 设两个单粒子态为，4)!12( ! 3)!133( )!1( !)!1(单态数粒子数单态数粒子数态数列表如下 状态(1) (2) (3)(1) (2)(1) (3)(2) (3)(3)(2)(1)(1) (2
5、)(3)(2) (3)(3) (1)(1) (2)(1) (2) (3)波函数为158)3()2() 1 (I)1 ()3()2 ()2()3() 1 ()3()2() 1 (31II)2() 1 ()3 () 1 ()3()2 ()3()2() 1 (31III)3()2() 1 (IV10.310.3 两个质量为的粒子以频率分别作一维谐振动，二粒子m 2间以引力相互作用，其中为一常数，求粒子的能级和波函数。)(yxCC解解 设两粒子的坐标分别为和，则此二粒子体系的薛定谔方程xy为0)(21 21 21222222 22222 yxCyMxMEM yxh（1）引进 ， （2）)(21yx )
6、(21yx 即 ， （3）)(21x)(21y159又令 ， （4）EM22 hhMhM则薛定谔方程变成（5）02222 2222 式中 （6）22 22 222)(hhM MCM则 （7）MC22用分离变数法解方程（5） ，令（8）)()(),(21代入（5）式后用除全式得)()(21 22 222222 212111 dd dd因而有21222 2222122 12120)(0)(dddd)11()10()9(将（4） 、 （6）式代入（9） 、 （10） 、 （11）式可将（9） 、 （10） 、 （11）式化160成2122 22222212 1222120)21(0)21(EEEME
7、M ddMEM ddhh)11 ()01 ()9(现（） 、 （）两式都是一维谐振子的方程，其能量分别为901 ),21(),21(21nEmEhh)13()12(代入（11）式得二粒子体系的总能量（14）)21()21(nmEmnhh波函数分别为（15）)()(2211 mmHeN（16）)()(2212 nnHeN代入（8）式得二粒子体系的总波函数（17）)()(),(221221 nmnmHHeNN10.410.4 两个自旋为的粒子间有磁相互作用，设它们的质量很大，21动能可以忽略，求这个体系的所有能量本征值、简并度210SSH161及本征函数。解解 体系的哈密顿算答为)23(222 2
8、10hS SS SS SH其中 21S SS SS S故体系的本征态即的本征态，其本征值为0H2S S2 023) 1(2hSSE当时，体系3度简并，本征函数分别是1S， ，)2() 1 ( 2121)1(S)2() 1 ( 2121)2( S)1 ()2()2() 1 (2121212121)3( S本征值 2 043hE当时，不简并，本征函数为0S)1 ()2()2() 1 (2121212121A本征值 2 043hE10.510.5 有两个质量都是，自旋都是的全同粒子，处于宽度为m21的一维无限深势阱中，忽略两个粒子间的相互作用，求描写这两个a2粒子体系的能量本征值和本征函数。并写出基
9、态和第一激发态波的具体形式，指出它们的简并度。解解 由于不考虑两粒子的相互作用，故体系的总能量为162， )(82 22 122221nnaEEEhL, 3 , 2 , 1,21nn体系的波函数为)()(zSx对于全同费米子体系，波函数应是反对称的，即， 是单态)()(zASSxA或 ， 是三重态)()(zSASxS)()()(21xxxnnS)()()()(21)(12212121xxxxxnnnnS21nn ，)()()()(21)(12212121xxxxxnnnnA基态，121nn0)(xA)(2sin)(2sin1)(21axaaxaaxS) 1 ()2()2() 1 (21)( 21212121xA)(2sin)(2sin21)()(21axaaxaaSxzAS)1 ()2()2() 1 ( 21212121163第一激发态，11n22n)()(zASSx)(sin)(2sin)(sin)(2sin211221axaaxaaxaaxaa)1 ()2()2() 1 ( 21212121是三重态)()(zSASx)(sin)(2sin21212, 1axaaxaa)2() 1 ()(sin)(2sin 212112axaaxa)(sin)(2sin21213axaaxaa)(sin)(2sin12axaaxa)1 ()2()2() 1 ( 21212121
