对称6 生命规律 再探对称思想

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1、六. 生命规律 再探对称思想 六. 生命规律 再探对称思想 查尔斯罗伯特达尔文（C.R.Darwin，1809.2.12 1882.4.19） ，英国生物学家，生物进化论的奠基人.他以博物 学家的身份，参加了英国派遣的环球航行，做了五年的科学 考察. 在动植物和地质方面进行了大量的观察和采集，经过 综合探讨，形成了生物进化的概念，证明了“物竞天择，适 者生存” 的进化论思想. 1859 年出版了划时代的科学巨著 物 种起源说. 地球上有生命的历史至少可以追溯到 38 亿年前. 灭绝 的动物很多，现存动物其体型结构大多采取对称的形式. 除 了草履虫等原生动物不对称，水螅等腔肠动物螺旋对称外， 几

2、乎所有动物都是左右对称的. 研究表明左右对称的动物更 适应比较复杂的环境，这些动物的神经系统的进化使这些动 物在运动时有了方向性，如左右眼图像的立体感和距离感， 使它能够准确捕捉食物；左右耳的声音叠加，使它能躲避来 犯之敌. 于是根据达尔文适者生存的理论，一些不对称的就 逐渐被淘汰了， 只剩下一些较小的低等动物. 事实就是这样， 对动物来说， 结构对称是生存的本能， 进化的结果. 另一方面，物理学家研究指出，宇宙万物都存在一个自己的核心，一个系统核心的质能决定着 这个系统的结构和性质. 无论是宏观世界还是微观世界，一个系统总是要调整自己，使系统的总能 量达到最低，使自己处于稳定的平衡状态. 动

3、物体型结构的对称性正是由这个“能量最小原理”决 定的. 与此同时，生物学家最新研究指出，生命机体是一个巨大的复杂系统，也具有配合系统的内 在规律， “生命在于运动”是不确切的，应该是“生命在于对称 振荡”，由此建立了“生命进化对称性”的数理模型，分析了 氨基酸、遗传密码等生命元素与对称的关系. 例如，记录人体 心脏电活动的心电图，正常时应该是周期函数的图像，即平移 得到的对称，如果一个波形和其相邻的波形出现差异，可能就 是心律失常的前兆，危险！总之，生命规律也需要用对称来描 述，生命在于平衡！生命在于对称！ 1. 例说对称模式 1. 例说对称模式 宇宙万物，人为万物之灵. 这条著名的断语，出自

4、儒家 的经典尚书周书泰书中的一句话：“惟天地，万物 父母；惟人，万物之灵. ” 探讨生命形态的对称特征是生命 学说的一个重要内容之一. 人体外部结构是对称的，但人体 的内脏结构分布是不完全对称的， 如心脏位于胸腔中间偏左， 肝脏位于右侧横隔膜之下，胆囊位于右方肋骨下肝脏后方， 胃位于左上腹部等. 但支撑着人体的骨骼又是完全对称的. 这种对称不对称对称的结构正是对称的模式. 事实上，宇宙万物总是不断地进行着平衡循环：平衡 不平衡新平衡；有序无序新有序；生死新生；现 系统崩溃分解新系统；现事物崩溃分解新事物；思 想反思新思想. 这种宇宙万物的平衡循环是永恒的过程，旋转是宇宙万物的基本运动形式. 而

5、对称不对称对称的模式就是指系统之间的平衡关系， 均衡是对称的变体. 对称，就是一种平衡，稳定且和谐！ 创立了“天理”学说的北宋理学家和教育家程颐 （1033 年1107 年） 就说过： “天地万物之理， 无独必有对，皆自然而然，非有安排也”. 万物的对称包含自身内部结构对称、物物对称、物与环 境的对称. 而且所有物质都存在与自身对称的反物质， 万事万物无独有偶， 必有自己的对称方， 如： 阴与阳、正与反、有与无、虚与实、长与短、前与后、高与低、上与下、轻与重、左与右、难与易、 美与丑、善与恶、爱与恨、输与赢、祸与福、贫与富、新与旧、多与少、强与弱、生与死、进化与 退化，事物与自己的对称方相互对

6、立、相互依存、相互关联、相互制约、相互影响、相互消长、 相互平衡，在一定条件下双方可相互转化. 数学中的对称方也很多：加法与减法，乘法与除法，乘方与开方，指数与对数，微分与积分等 等，这些互逆的运算可以看成是对称关系；函数与反函数、变换与逆变换、映射与逆映射、奇函数 与偶函数等是对称关系；命题中的原命题与逆命题、否命题与逆否命题也是对称关系. 数学中的很 多概念、定理、法则、公式都是历代数学家从对称性的角度研究得出的. 数学中的对称方也可以相 互转化并统一：加法与减法统一为代数和，除法通过倒数可以转化为乘法，乘方与开方可以统一为 幂的运算等等. 在数学中，对称的概念略有拓广常把这些具有关连或对

7、立的概念视为对称，这样对 称便成了数学中的一个重要组成部分. 对称中含有不对称的差异，不对称中又有对称的影子，不对称与对称也在互相转化. 例如，液 态水分子是一种球性的对称，这是水之所以能流动的奥秘所在. 但当水受冷结冰时，这种完美的对 称就被破坏，而转变成了低层次的如雪花晶体般的六边形的新的对称. 这种对称与不对称的奇妙变 换，如同宇宙本身的神秘性，引发了人们无限的遐思，成了新崛起的混沌学研究的一个课题. 对称的形式容易被感知与理解，均衡协调的结构往往能理顺思路，反之则会干扰思考，这就要 求我们使凌乱的非对称的形式转化为对称和谐的结构. 还有些问题，表面看上去是不对称的，但实 际与对称也有着

8、不可分割的联系. 前几节已经举了不少不对称图形可以转化为对称图形求解的例子. 生命中也存在类似的转化： 例 例 树的形状一般是不对称的. 树有树的生长规律，由于新生的枝条，往往需要一段“休息” 时间，供自身生长，而后才能萌发新枝. 所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新 枝，第二年新枝“休息” ，老枝依旧萌发，此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新 枝则次年“休息”(如图)，.一株树木各年的枝桠数，便构成斐波那契数列. 这个规律就是生物 学上著名的“鲁德维格定律”. 兔子的繁殖、蜜蜂的繁殖、植物的生长、花瓣的数目等大自然现象 也都符合这个规律. 这个生长规律，看来也是不

9、对称的，但是人们却发现了斐波那契数列与对称的密切联系：将贾 宪三角变换一下形式，来一个向左看齐，将数按左下方向相加，斐波那契数列，正是贾宪三角中几 个数字的和构成的. 这个事实说明了自然法则与对称是紧密联系的，只不过有些自然规律还没有被发现而已. 可以 毫不夸大的说对称是大自然的最基本的规律. 无数事例已经足以说明，对称远远不只是一个数学概念，物理、化学、生物等自然学科里都大 量存在对称，历史、地理、政治、经济等人文科学也讲对称，文学、艺术里也广泛运用着对称. 对 称，不仅是大自然的最基本的规律，也是人类生存、发展的最基本的规律. 时空守恒定律揭示的是万物生成和运行的规律，不变或永恒是“对称”

10、的本质，所以人们把守恒律也称为对称律. 人体的内外结构与树的生长规律刻画了不对称与对称的关系，同时说明了对称不仅是表面可以 观察到的现象，而是内在的、隐藏在事物深处的本质，这就是对称论需要研究的内涵. 现代研究已经表明，生命的对称规律可以数字化！ 2. 树立对称思想 2. 树立对称思想 宇宙是对称的，生命是对称的，这就要求人们用对称的观念去认识世界、改造世界. 人们在认 识和解决具有对称或对等以及反对等性的问题过程中产生和形成的思想称之为对称思想. 学生时代， 就应该深刻理解对称模式，掌握对称方法，树立对称思想. 在数学中，对称思想是极其重要的一种数学思想，把不对称的数学问题构造成对称问题或者

11、用 对称方法求解问题都是对称思想的具体体现. 数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被 普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想. 数学方法是指研究数学问题过程中所采取 的手段、途径、方式等. 数学思想和数学方法是紧密联系的，两者虽然层次不同，但它们之间没有 绝对的界限. 一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法. 在数学问题的求 解过程中，如果我们能充分运用对称思想方法，那么解题思路就会被打开，解题过程也会优化，甚 至没有对称思想，有些问题就无法解决. 从科学史来看，许多多少年解决不了的难题，往往是人们 在对称性的认识上有

12、了新的突破后得到圆满解决的. 先举一个用对称方法求解的例子，说明对称思想的运用. 例例 1 已知 x,y,zR,且 x+y+z1，求函数 f(x,y,z)14 x+1414zy的最大值. 略解略解 明显是一个对称问题，x,y,z 处于“平等”地位，凭对称性的直觉可以猜测 xyz 31时函数取最大值. 此时，函数 f(x,y,z)的值为21131413141314. 事实上，由基本不等式3zyx 3zyx222， 不难证得 f(x,y,z)33141414）（）（）（zyx21. 因为问题中数式具有同等地位，具有相同结构特征，所以这个问题可以用对称方法. 而这种对 称方法是在观察审视后运用对称思

13、想做出的猜想、预测. 再举一个例子，是明显的对称问题，但求解时却有意破坏对称性，即没有用对称方法. 例 2 例 2 在ABC 中求证：81 2sin2sin2sinCBA. 略解 略解 三角形的角 A、B、C 显然处于对称地位，且 A+B+C. 但解题时将 C 视为常量，A、B视为变量，打破对称性，问题转化为求2sin2sinBA的最大值. 2sin2sinBACBABABAsin21 2cos21)2cos2(cos21， 在 C 为常量时，当且仅当 AB 时取最大值； 根据对称思想，如果将 B 视为常量，AC 时取最大值，如果将 A 视为常量，BC 时取最大值， 呈现出和谐之感，因此只有当

14、 ABC=3时 2sin2sin2sinCBA有最大值81. 这又是一个对称不对称对称的模式，说明了对称思想的丰富. 形式上的对称，方法上 的对称，确实能为获取信息打开通道. 但有时抓住某种“不对称”更能简洁明快的求解问题. 运用对称思想的例子很多，再欣赏几个例子. 例 3 例 3 已知:ABC 的内接圆与外切圆的半径分比别为 r 和 R,则 r 和 R 比值等于( ). A. 2cos2cos2sin4CBAB. 2cos2sin2sin4CBAC. 2sin2sin2sin4CBAD. 2sin2cos2cos4CBA略解 略解 这是一个三角形的问题， 树立了对称思想的话， 就会想到三角形

15、的边 a、 b、 c 或角 A、 B、 C 对 r 和 R 的影响是相同的，r 和 R 不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重，因此在比值Rr的表达式中，必有边 a、b、c 或角 A、B、C 的轮换对称，因此无需计算就可以判断 C 是正确的. 例 4 例 4 由数字 0、1、2、3、4 、5 组成没有重复的六位数，其中个位数小于十位数的有 个. 略解 略解 在上述的 6 位数的集合 A 中，把个位和十位交换，就能得到一个 6 位数，这个 6 位数还 是在 A 中，且任意 A 中两个 6 位数，进行上面的操作后，得到的 6 位数仍然两两不同，于是根据对 称思想，可以知道个位数小于十位数的 6 位数和个位数大于十位数的 6 位数个数是一样的，都等于 (6!-5!)/2300 个. 例 5 例 5 设 f(x)xx 1，求 f)20061(+f)20051(+f)21(+f) 1 (+f)2(+f)2005(+f)2006(的值. 略解 略解 这个问题的第一印象就是对称，互为倒数的20061与 2006 怎样对称呢？从条件入手. 注意到 f(x)+f(x1)1，就可以得到 f(x)与 f(x1)关于 1 对称. 问题就迎刃而解了，答案是 2005.5. 这种对称可以称为定值对称，是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，借此求解问题. 例 6 例 6 连掷两次骰子得到的点数