随机过程北邮

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1、第三章泊松过程第三章泊松过程3.1 泊松过程的定义和例子泊松过程的定义和例子定义定义 3.1 称随机过程称随机过程0),(ttN为为计数过程计数过程， 若， 若)(tN表示到时刻表示到时刻 t 为止已发生的“事件为止已发生的“事件 A”的总数，且”的总数，且)(tN满足满足下列条件：下列条件： （1）0)(tN； （2）)(tN取正整数值；取正整数值； （3）若）若)()(,tNsNts则； （4） 当） 当)()(,sNtNts 时等于 “事件等于 “事件 A” 在” 在区间区间,( ts中中发生的次数。发生的次数。 注：注：计数过程计数过程)(tN是独立增量过程。是独立增量过程。 背景背景

2、:考虑在时间间隔考虑在时间间隔(0,t(0,t中某保险公司收到的某中某保险公司收到的某 类保险的理赔次数类保险的理赔次数N(t),N(t),它是一个计数过程它是一个计数过程. .此类此类 过程有如下特点过程有如下特点: : (1)(1)零初值性零初值性：N（0）=0； (2)(2)独立增量性独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼：在不同的时间区段内的理赔次数彼 此独立；此独立； (3)(3)平稳增量性平稳增量性: :在同样长的时间区段内理赔次数的在同样长的时间区段内理赔次数的 概率规律是一样的概率规律是一样的; ; ( (4 4) )普通性普通性: :在非常短的时间区段在非常短的时间区段t

3、 t内的理赔次数几内的理赔次数几 乎不可能超过乎不可能超过1 1次次, ,且发生且发生1 1次理赔的概率近似与次理赔的概率近似与 t成正比成正比. .Poission过程的定义过程的定义泊松过程的定义（泊松过程的定义（1） 定义定义 3.2 称计数过程称计数过程0),(ttX为具有参数为具有参数0的的泊松过程泊松过程，若它满足下列条件，若它满足下列条件 （1）0)0(X； （2）)(tX是独立增量过程；是独立增量过程； （3） 在任一长度为） 在任一长度为 t 的区间中， 事件的区间中， 事件 A 发生的次数服从参发生的次数服从参数数0的泊松分布，即对任意的泊松分布，即对任意0, ts，有，有

4、 , 1 , 0,!)()()(nntensXstXPn t(3.1)称称为此过程的为此过程的速率速率或或强度强度。 泊松过程的定义（泊松过程的定义（2）定义定义 3.3 称计数过程称计数过程0),(ttX为具有参数为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：的泊松过程，若它满足下列条件： （1）0)0(X； （2）)(tX是独立、平稳增量过程；是独立、平稳增量过程； （3）)(tX满足下列两式：满足下列两式： ).(2)()(),(1)()( hotXhtXPhohtXhtXP （3.2） 注：条件（注：条件（3）说明，在充分小的时间间隔内，最多）说明，在充分小的时间间隔内，最多 有一个事件发

5、生，而不能有两个或两个以上事件同有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同 时发生。时发生。泊松过程泊松过程 的例子的例子例例 3.1 考虑一电话交换台在某段时间间隔内接到考虑一电话交换台在某段时间间隔内接到的呼唤数。令的呼唤数。令)(tX表示电话交换台在（表示电话交换台在（0，t内收到的内收到的呼唤次数，则呼唤次数，则1),(ttX是一个泊松过程。是一个泊松过程。 例例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记客。若记)(tX为在时间为在时间0，t内到达售票窗口的旅客数，内到达售票窗口的旅客数，则则0),(ttX为一个泊松过程为一个泊松过程。

6、定义定义 3.3定义定义 3.2。令。令 .)0()()()(nXtXPntXPtPn 根据定义根据定义 3.3 之（之（2）和（）和（3） ，有） ，有 ),(1)(,0)()(0)0()(,0)()(, 0)0()(0)0()(0)()(00hohtPtXhtXPXtXPtXhtXXtXPXhtXPhtXPhtP.)()()()(000 hhotPhtPhtP故故例例3设一年开始为设一年开始为 0 0 时刻，时刻，1 1 月末为月末为 1 1，2 2 月末为月末为 2 2则年则年末为末为 1212 124 !)124()12(ennXPn均值均值 48124)12(XE （事故的发生次数及

7、保险公司接到的赔数） 若以（事故的发生次数及保险公司接到的赔数） 若以 X(t)表示某公司交叉口、矿山、工厂等场所在（表示某公司交叉口、矿山、工厂等场所在（0，t）时间内发时间内发生不幸事故的数目，则泊松过程就是生不幸事故的数目，则泊松过程就是 X(t),tX(t),t0 0 的一种很的一种很好近似。设保险公司每次的赔付都是好近似。设保险公司每次的赔付都是 1 1，接到的索赔要求是，接到的索赔要求是平均平均 4 4 次次/ /月，则一年中它要付出的金额平均为多少？月，则一年中它要付出的金额平均为多少？ 定理定理 3.1 定义定义 3.2 与定义与定义 3.3 是等价的。是等价的。 证证 定义定

8、义 3.2定义定义 3.3。由于定义。由于定义 3.2 的条件（的条件（3）中）中蕴含蕴含)(tX为平稳增量过程，故只需证明条件（为平稳增量过程，故只需证明条件（3）的等价性。）的等价性。由（由（3.1）式，对充分小的）式，对充分小的 h，有有 ).(!)(2)0()(2)()(2honheXhXPtXhtXPnnh),()(1 !/)(! 1)(1)0()(1)()(0 hohhohhnhhheXhXPtXhtXPnnh故定义故定义3.2蕴含定义蕴含定义3.3。令令0h取极限得，取极限得， ,)()()()(00 00tPtPtPtP或 积分得积分得 .)()(ln00tketPCttP或

9、由于由于10)0()0(0XPP，代于上式得，代于上式得 . 0)(tetP 类似地，对于类似地，对于1n有有 njnjtXhtXjnXtXPtXhtXnXtXPtXhtXnXtXPnXhtXPnhtXPhtP2.)()(,)0()(1)()(, 1)0()(0)()(,)0()()0()()()(),()()()1 ()()()()()()(1110 hothPtPhhohPtPhPtPhtPnnnnn .)()()()()(1hhotPtPhtPhtPnnnn由定义由定义3.3的（的（2）和（）和（3），得），得0h ),()()(1tPtPtPnnn),()()(1tPetPtPent

10、nnt ).()(1tPetPedtd nt nt 令令取极限得取极限得所以所以因此因此1n.,)()(01 tttteetPetPedtd.)()(1tecttP当当时，得时，得0)0(1P.)(1ttetP由于由于，代入上式得，代入上式得下面用归纳法证明下面用归纳法证明!)()(ntetPn t n成立。假设成立。假设1n时时(3.1)式成立，根据式成立，根据(3.3)式，有式，有 ,)!1()( )!1()()(11 ntentetPedtdn tn t nt由条件（由条件（2） , 1 , 0,!)()()(nntensXstXPn t故定义故定义 3.3 蕴含定义蕴含定义 3.2，证

11、毕。，证毕。 积分得积分得 .!)()(cnttPennt由于由于0)0()0(nXPPn，代入上式得，代入上式得 .!)()(ntetPn t n 例例4事实上， 由于每次事件发生时， 对它的记录和不记录都与事实上， 由于每次事件发生时， 对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立，而且事件的发生数是泊松流。其他的事件能否被记录独立，而且事件的发生数是泊松流。所以所以M M（t t）也是具有平稳独立增量的，故只需验证）也是具有平稳独立增量的，故只需验证M M（t t）具）具有均值有均值PtPt的泊松分布。即对的泊松分布。即对t t00，有，有 设事件设事件A A的发生次数服从强度为的发生

12、次数服从强度为 的泊松过程的泊松过程 N(t),tN(t),t0 0 。如果每次事件发生时以概率。如果每次事件发生时以概率P P能够被记录下能够被记录下来，并以来，并以M M（t t）表示到）表示到t t时刻被记录下来的事件总数，则时刻被记录下来的事件总数，则 M M（t t）,t,t0 0 是一个强度为是一个强度为P P 的泊松分布过程。的泊松分布过程。 Ptm emPtmtMP!)()(!)( !)()1( mpteemptem pttpm t由于由于结论得证。结论得证。0)()(|)()(nnmtNPnmtNmtMPmtMP0)!()()1 (ntnm nmm nmenmtppC0!)1

13、 ()(nnm t nmtppte0t- !)1 ( !)(e nnmntp mpt3.2 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质一、数字特征设设0),(ttX是泊松过程，对任意的是泊松过程，对任意的tsst且), 0,，有有 ),()()()()(stsXtXDsXtXE 由于由于0)0(X，故，故 ,)0()()()(tXtXEtXEtmX （3.4） ,)0()()()(2tXtXDtXDtX 一般，泊松过程的协方差函数可以表示为一般，泊松过程的协方差函数可以表示为 ).,min(),(tstsBX （3.5） 泊松过程的特征函数为泊松过程的特征函数为 .)()(),(),(),1()()

14、()()()()()0()()()()()0()()()()()()()(),(2222stmsmtsRtsBtssstssstssXEsXDsXtXEXsXEsXEsXtXXsXEsXsXtXsXEtXsXEtsRXXXXX ) 1(expexp!)(!)()()(000)(iuiutnniu tnn tiunniuntiuX XetteenteenteentXPeeEug例例5其均值为其均值为 1212 即到即到 1212：0000 为止，离去的人平均是为止，离去的人平均是 1212 名。而有名。而有9 9 人接受过服务概率是人接受过服务概率是 ! 9)12(9)4(9 12eXP 设从早上设从早上 8 8：0000 开始有无穷多的人排队等候服务， 设只开始有无穷多的人排队等候服务， 设只有一名服务员， 且每个人接受服务的时间是独立并服从均值为有一名服务员， 且每个人接受服务的时间