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1、第5章刚体力学部分作业答案第5章刚体力学部分作业答案5-4 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大？5-4 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大？解：薄板的面密度为质量元由质量连续分布刚体转动惯量公式解：薄板的面密度为质量元由质量连续分布刚体转动惯量公式xy-RROd rdr221 22mm RR()dmrddr 2Jr dm质量元与转轴的距离为质量元与转轴的距离为rsin22(rsin)()Jr dmrddr3200r drsinRd 4011(1-2 ) 42Rcosd 4 0111(1-2 )422Rsin
2、 44111(-0)1 428=2RR 221 22mm RR把，代入得：把，代入得：24221 41 8RRmJRm 5-8 求半圆形的均匀薄板的质心。5-8 求半圆形的均匀薄板的质心。xy-RROd rdr解：设薄板的总质量为解：设薄板的总质量为M，半径为，半径为R. 由半圆形的对称性可知薄板的质心在由半圆形的对称性可知薄板的质心在y轴上。薄板的面密度为质量元由质量连续分布刚体质心公式轴上。薄板的面密度为质量元由质量连续分布刚体质心公式221 22MM RR()dmrddr CrdmrM CydmyMyr sin 1()()Cr sirydmyrMnddM 002RsrindMdr 3 0
3、)1 3(cMosR 332(231 3)=MRR M 221 22MM RR把，代入得：把，代入得：332224 3=32 3CRR MMRyMR 薄板的质心为：薄板的质心为：4(0, )3R 5-15 如附图所示，一通风机的转动部分以初速度5-15 如附图所示，一通风机的转动部分以初速度0 绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量，若转动部分对其轴的转动惯量为为一常量，若转动部分对其轴的转动惯量为J，问： （，问： （1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2
4、）在此时间内共转过多少转？）在此时间内共转过多少转？解：（解：（1）设空气的阻力矩为： 由刚体定轴转动定律）设空气的阻力矩为： 由刚体定轴转动定律 fMC MJ M JdC tJd 00tdCdt J 0 0or ()CtCteJJxpln （2）设在此时间转过）设在此时间转过角度角度00 01()()()()Ct JtJCtexpdteJdtC 把代入把代入2JtlnC 00(1)=12 ()Ct JCJJeexpCCJlnC J 0001=1()=1=222JJexpCCJlnC 在此时间转过转数：在此时间转过转数：0=42JNC 设经过设经过t时间其转动角速度减少为初角速度的一半，则有时
5、间其转动角速度减少为初角速度的一半，则有 1 020CtlnJ 2JtlnC5-16 如附图所示，质量为5-16 如附图所示，质量为0.5kg，长为，长为0.40m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求： （的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求： （1）当棒转过）当棒转过60时的角加速度和角速度； （时的角加速度和角速度； （2）下落到竖直位置时的动能； （）下落到竖直位置时的动能； （3）下落到竖直位置时的角速度。）下落到竖直位置时的角速度。POA解：细棒绕某一端的轴转动的转动惯量为（1）细棒转过任意角
6、度时所受的重力矩为解：细棒绕某一端的轴转动的转动惯量为（1）细棒转过任意角度时所受的重力矩为21 3Jml(90)=Mrmg sinrmg sinrmg cos 由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律MJ 1 4 21 33 4lmgM Jmlg l 代入数据代入数据2339 818 4440 4g. rad sl. 转过转过60时时1604rmgMcoslmg 细棒从水平位置下落至竖直位置整个过程机械能守恒。 取竖直位置质心处的水平线为重力势能零点。细棒从水平位置下落至竖直位置整个过程机械能守恒。 取竖直位置质心处的水平线为重力势能零点。210(160 )222llmgmgsinJ （2）细棒
7、下落至竖直位置时，取竖直位置质心处 的水平线为重力势能零点。（2）细棒下落至竖直位置时，取竖直位置质心处 的水平线为重力势能零点。10 50 40 5908298kElmg.J133339 8 2209478 .radg. .sl 002klmgE（3）细棒下落至竖直位置时（3）细棒下落至竖直位置时21 2kEJ 12339 88 570 4kE.ra. l.dJsg 5-19 质量为5-19 质量为m，半径为，半径为R的匀质圆盘可绕过盘心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，盘与桌面间的滑动摩擦系数为的匀质圆盘可绕过盘心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，盘与桌面间的滑动摩擦系数为，若用外力使其角速度达到
8、，若用外力使其角速度达到0时撤去外力，求： （时撤去外力，求： （1）此后圆盘还能转动多久时间？共转了多大角度？ （）此后圆盘还能转动多久时间？共转了多大角度？ （2）上述过程中摩擦力矩所做的功。）上述过程中摩擦力矩所做的功。解：匀质圆盘绕过盘心竖直轴转动的转动惯量为匀质圆的面密度：（1）此圆盘转动过程中受到阻力矩作用，角速度逐渐减小，并最终静止。但圆盘不同位置阻力矩不同，但距离盘心相同距离的质量元所受的阻力矩相同，设半径为解：匀质圆盘绕过盘心竖直轴转动的转动惯量为匀质圆的面密度：（1）此圆盘转动过程中受到阻力矩作用，角速度逐渐减小，并最终静止。但圆盘不同位置阻力矩不同，但距离盘心相同距离的质
9、量元所受的阻力矩相同，设半径为r的圆环受到的阻力矩为的圆环受到的阻力矩为dM21 2JmR2m RRO r dr此圆环的质量为此圆环的质量为2dmr dr 此圆环转动时受到的阻力为此圆环转动时受到的阻力为2dfdmggrdr 受到的阻力矩为受到的阻力矩为 22dMrdfgr dr 此圆盘转动时受到的总的阻力矩为此圆盘转动时受到的总的阻力矩为 2302(2)3RMdMgrdrgR 2322 33m RgRmgR 由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律MJ 22 3 1 24 3mgRM JmRg R 0t 设此圆盘转动设此圆盘转动t时间停止时间停止2200 0033114()()24234RRgd
10、tttgRg 0003 44 3gtRR g 这段时间转过的角度这段时间转过的角度22 002 03 833 48RR ggR g 此过程中摩擦力矩所做的功此过程中摩擦力矩所做的功 222222 02 00011111 22221 42AJJJmRmR 2 022 032 31 84RAMmgRRgm 或者由刚体转动动能定理或者由刚体转动动能定理5-20 如附图所示，在光滑的水平面上有一木杆，其质量5-20 如附图所示，在光滑的水平面上有一木杆，其质量m1 =1kg，长为，长为l=40cm，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动，一质量为，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动，一质量为m2 =10g的子
11、弹，以的子弹，以v=2.0 102m/s 的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。子弹相对于转轴的角动量为把子弹和木杆看做一个系统，子弹与杆相互作用过程中，系统所受的合外力矩等于零，满足角动量守恒。子弹陷入杆中，整个系统相对于原转轴的转动惯量为解：木杆绕通过其中点并与之垂直的轴转动的转动惯量为子弹相对于转轴的角动量为把子弹和木杆看做一个系统，子弹与杆相互作用过程中，系统所受的合外力矩等于零，满足角动量守恒。子弹陷入杆中，整个系统相对于原转轴的转动惯量为解：木杆绕通过其中点并与之垂直的轴转动的转动惯量为2 11 12Jm l221 2Lrm vlm v 2 22 2121221 122312lJJr mm lmlmm221213212llm vJmm 21216300029 13103.radm mmlsv
