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1、第 八 章 参 数 估 计8 .3 区间估计8.1 估计量的优劣标准8.2 获得估计量的方法点估计一致估计无偏估计有效估计矩估计法极大似然法1点估计：以样本的某一函数值作为作为总体中未知参数的估计值。区间估计：把总体数字特征确定在某一范围之内。问题 总体X 的分布类型已知，但其中的一个或几个参数未知，如何对总体分布的参数作出估计。参数估计例：若总体X的分布函数为F(x, )，而 未知，如何利用总体样本对 进行估计。例：设总体28.1 8.1 估计量的优劣标准估计量的优劣标准一、一致估计即对任何正数， 如果当n时， 依概率收敛于，定义 有则称 是的一致估计。 要求 当样本容量 n 无限增大时，估
2、计量能在某种意义下充分接近被估计的参数。3二、无偏估计 为的无偏估计量。 则称定义 要求样本均值 是总体均值的无偏估计值。 是的无偏估计值，证结论1 4样本方差 是总体方差 的无偏估计值。证结论2 5则称 比 有效的估计量。问题方法设及都是的无偏估定义计量，如果 三、有效性的值最小，则称 是 的有效估计值。如果对于给定的n，注2：无偏有效估计量以最大的概率保证了这估计的观察 值在未知参数的真值附近摆动。注1： 样本平均数 是总体期望的有效估计量。68.28.2 参数的点估计参数的点估计用样本原点矩来估计总体原点矩一、求点估计值的方法 矩估计法方法用样本中心矩来估计总体中心矩二、求点估计值的方法
3、 最大似然估计法方法选取 使得当他作为 的 估计值时，是观察结 果出现的可能性最大。7似然函数：定义8.4对于离散随机变量就是估计概率函数中的参数 ，对于连续型 随机变量就是估计概率密度中的 。定义：离散型随机变量：连续型随机变量：如果8方法：(1) 写出似然函数，对似然函数两边取对数得到(2) 考虑下边方程组： 则方程的解 即为要求的最大似然估计。9例1 设总体X服从指数分布，概率密度为求参数 的矩估计值和极大似然值。其中 为未知参数。如果取得样本观测值为 解 （1）令得 的矩估计值为似然函数为 （2）10得 的极大似然估计值为令然估计值。例2 设总体X服从正态分布其中及 是未知参数。如果取
4、得样本观测值为求参数及 的极大似似然函数为解11令所以得 及 的极大似然估计值为解得12解得 的矩估计值为：令(1)取得样本观测值为 求参数 的矩估计与极大似例6 设总体X的概率密度为如果然估计值。13得 的极大似然估计值为：(2) 似然函数为：148.3 8.3 区间估计区间估计一.区间估计的概念置信水平与置信区间假设用 作为未知参数的估计值，若对于任意 0,都有 即参数在随机区间 取值的概率为1-,结果的可靠性。置信区间表示估计结果的精确性，而置信水平则表示这一要求： （1） 要以很大的可能被包含在区间即1- 要尽可能大.内，1-叫做置信水平,称区间 为参数的置信区间.概率15（2）估计的
5、精度要尽可能高，如要求区间长度 2 尽可能小. 如果对于给定的置信水平1-,有一般地，若 及 是由样本确定的两个统计量，则随机区间 叫做参数的对应于置信水平1-的置信区间， 叫做置信下限， 叫做置信上限。 置信区间的意义:如果进行N 次抽样，第k次得到的样本测值为得N个区间16参数的置信区间，称为参数的区间估计。对于已给的置信水平1-， 根据样本观测值来确定未知定义这N个区间中，有的包含参数的真值，有的不包含，当等值的区间大约占100(1-)%.式成立时，这些区间中，包含参数的真第一种情形：方差已知，对 进行区间估计。二、总体期望值 的区间估计1. 总体分布未知思路：利用切贝谢夫不等式1718
6、2.正态总体均值的区间估计(1)设总体X 已知 求参数的置信区间。样本函数则对于给定的，引进临界值所以19特别地：20解即例1 若灯泡寿命服从正态分布均寿命所在范围( ).试估计例1中的平1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 120021对于置信水平1-= 0.95，由得置信区间为解有=0.05，查表得20.01- 0.14 20.01+0.1419.8720.15即如果置信水平1-= 0.99， 则= 0.01， 查表，得设零件直径服从正态分布 ，且已知=0.21 (毫米)，求这批零件直径的均值对应于置信水平0.95 及 0.99 的置信例
7、2 从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径(毫米)为 19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.9，20.2，20.3。区间。22所以，置信区间为: 19.83 20.19（毫米）.由23水平为0.95的置信区间。例2 在上面的例1中，设未知，求零件均值对应于置信已给置信水平1-= 0.95， 有= 0.05，自由度 n = 9-1 = 8 ，查表得 求得 得置信区间为： 19.85 20.17（毫米）.解242.正态总体方差 的区间估计（1）设总体X 已知 ，求 的置信区间。 考虑样本函数利用 分布表，可以求得 的置信区间. 对于已给的置信水平1-，应选取这样的置信区
8、间 使得 25于是，有即上式表明，对应于置信水平1-，总体方差 的置信区间为26由此得总体标准差的置信区间为27即对应于已给的置信水平1-，有（2）设总体X 未知 ，求 的置信区间。 用 代替样本函数由此可得28所以，对应于置信水平1-，总体方差 的置信区间为总体标准差的置信区间为29（1）已知=20，即例3 在上面的例1中，求零件直径的方差 对应于置信水平0.95的置信区间，如果：（1）已知零件直径的均值= 20毫米；（2）未知。解计算得查表得已给置信水平1-= 0.95， 则= 0.05， 自由度 k= 9，则直径方差的置信区间为30（2）未知， 对应于置信水平1-=0.95，则方差 的置信区间为即标准差 的置信区间为而标准差的置信区间为：自由度 k= 9-1= 8，查表得则= 0.005，316.3 6.3 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计1.正态总体均值的区间估计(1)已知，(2) 未知，小结322.正态总体方差 的区间估计（1）已知（2）未知33
