第5章偏微分方程数值解课件

《第5章偏微分方程数值解课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章偏微分方程数值解课件（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第5章 偏微分方程数值解 5.1 问题的提出 5.2 基本离散化公式 5.3几种常见方程的离散化计算 5.4 吸附床传热传质模型中偏微分方程 求解实例 目录5.1 问题的提出包含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。从实际问题中 归纳出来的常用偏微分方程可分为三大类：波动方程、热传导 方程和调和方程。对于它们特殊的定解条件，有一些解决的解 析方法，而且要求方程是线性的、常系数的。但是在实际中碰 到的问题却往往要复杂得多，尤其在化工和化学模拟计算中， 不仅偏微分方程的形式无一定标准，且边界条件五花八门，方 程中的系数随工况改变而改变，想利用解析求解是不可能的。 另一方面实际问题的要求不一定需要严格的

2、精确解，只要求达 到一定精度，所以就可借助于差分方法来求偏微分方程的数值 解。在第4章里，我们介绍了一个套管式换热器稳态的传热问 题。如果我们考虑一个动态的传热过程，且不忽略纵向的热传 导，就可以得到以下的偏微分方程：5.15.45.35.2总目录5.1 问题的提出上面方程中变量的含义如下：通过求解上面的偏微分方程，就可以得到传热管各点温度随时间 的变化值，从而确定达到传热平衡所需的时间，为实验测量提供依据 。想求解上述方程，就必须首先学会偏微分方程的求解方法，下面我 们首先介绍如何对偏微分方程进行离散化的工作，然后再对各类不同 的偏微分方程进行求解，我们一般只给出离散化的基本公式及计算方 法

3、，对离散化公式的具体推导工作一般不作详细介绍，对这方面感兴趣的读者可自行参考有关数值计算的书籍。 5.15.45.35.2总目录5.2 基本离散化公式 在偏微分方程中，自变量都在两个或两个以上，应变量随两个或两 个以上的自变量变化而变化。在化工或化学动态模拟方程中，常常有一个 自变量是时间，其它的自变量为空间位置。如果只考虑一维空间，则只有 两个自变量；如果考虑两维空间，则有3个自变量。一般我们将自变量在 时间和空间以一定的间隔进行离散化，则应变量就变成了这些离散变量的 函数，以3维空间为例，我们将离散化的应变量表示成，它所表示的真正 含义如下 : 有了以上的定义，对于一阶偏 导我们可以利用第

4、四章的欧拉 公式直接得出向前欧拉公式： 对于时间偏导而言，有时我们 常常采用向后欧拉公式，时间的 向后欧拉公式如下：5.15.45.35.2总目录5.2 基本离散化公式 这样在以后的计算中，得到的是隐式的计算公式，需通过求解线性方程组才能求解。具体的计算过程我们在下面会针对具体的偏微分方程进行 讲解。对于二阶偏导，我们可 以通过对泰勒展开式处理技术 得到下面离散化计算公式：有了以上的离散化公式，就可以进行偏微分方程的数值求解工作。当 然，在具体求解时，还会碰到不同的问题，需要区别对待，同时在利用计 算机编程计算时也会碰到困难，这些问题我们会通过具体的例子加以说明。 5.15.45.35.2总目

5、录5.3几种常见方程的离散化计算 1、 波动方程其中： 为初值条件为边值条件 当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的混合问题。 对于初值问题，是已知t=0时，u与 依赖于x的函数形式，求解不 同位置，不同时刻的u值。而 u是定义在 的二元函 数，即上半平面的函数。 对于混合问题除初值外，还有边值。是已知初值及x=0及x=l时u依 赖于t的函数，求解不同位置x，不同时刻的u值。此时u是定义 在 的带形区域上的二元函数。如图可以看出 初值问题和混合问题的定义域。 5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 根据5.2节提供的公式，将上

6、面波动方程离散化，得到：(5-1)将式（5-1）进行处理，把（n+1）时刻的变量留在右边，其余放 在左边得到：（5-2）同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：(5-3)xt0a)初值问题tx0lb)混合问题5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 这样，由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各点u值，计 算得到下一时刻的u值，这样层层递推，就可以计算出任意时刻，任意位 置的u值。而图5.2则表明了这种层层递推的计算过程，在图5.2中*表示 需求u值的点，表示为了求x点的u 值必须已知u值的点。需要说明的是，在应用式（5-2）进行计算时，初值与边值应当满足相容

7、 性条件 。由初值得到 ，由边值得到 ， , 但在利用式（5-2）进行第一轮计算时，若取n=0，则发 现等式右边出现了 ，这是一个无法计算的值。这时可以利用另一个初 值条件 算得 ，这样，可在第一轮计算的时候，取 n=1，计算得到 ，由 ，递推得到 ，这样就可由式（5-2）一排一 排往上推，计算得到所有希望得到的u值。对于式（5-2）取n=0计算中碰 到的 ，也可利用另一种方法进行计算，解决的办法是将另一个初值条 件利用向后欧拉离散化 算得 ，这样利用式（5- 2），取n=0就可以得到 ，取n=1， ，和前一种处理方法一样一排一 排往上推，计算得到所有希望得到的u值。象这样可以用已知点上函数值

8、 直接推出所有点上函数值的格式，称为显式格式。当方程非齐次时， ，式（5-1）可写为5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 当方程是初值问题时，边界条件没有了，由于在t=0时，u与 值是已知的，若需要求某 的值，只要按“波及原则”多算一些初 值，即可推得，所图5-2所示。 为了保证差分方程的解在 时收敛于原来波动方程的解 ，要求式（5-2）中等式右边的各项系数均大于0，即：化简得：而且，可以证明，只要初始条件，边界条件满足一定的光滑性要求，且满足收敛关系式时，差分格式是稳定的。 图5-2x5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 例5.1: 用数值法求

9、解下面偏微分方程，并写出VB程序。解：首先根据前面的知识，将所求的方程离散化，先假设以下各 式：代入微分方程并化简得： （5-3） 分析式（5-3）可知，如果知道了某一时刻的各点t，（ j=0,1,2.100），就可以求下一时刻的各点温度值。有了以上各式，上面的微分方程就可以求解了。其实这个微分方程，是在不考虑流体本身热传导时的套管传热微分方程 。由计算结果可知，当计算的时间序列进行到时，传热过程 已达到稳态，各点上的温度已不随时间的增加而改变。如果改变套管长度或传热系数，则达到稳态的时间亦会改变。 5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 2、一维流动传热传导方程的混合问

10、题与波动方程的情形类似，用差商近似代替偏商，可以得到差分方 程，以其解作为流动传热传导方程的近似解。 一维流动传热传导方程的混合问题：上面的偏微分方程其实就是在5.1节中提出的偏微分方程，利用5.2节中的离散化公式进行离散化，得到其离散化公式：5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 将上式进行处理得到： （5-4）利用初始条件和边界条件，可以得到零时刻各点的（i=0,1,2,m ）及 ，这样就可以利用公式（5-4）计算得到 ，依 次类推，可以得到其它时刻的各点值，所以式（5-4）也是显式格 式。只要保证式（5-4）中各项系数大于零，一般情况下，式（5- 4）的计算公式是稳

11、定的，可以获得稳定的解。 分析式（5-4）可以发现，当为了提高数值精度取适当小的 时，最 有可能小于零的系数是的 系数，若要保证此项系数大于零，此 时 必须相应地更小，这样，计算量将大大增加，这是显式格式的 缺点，为了克服此缺点，下面提出一种隐式格式。偏微分方程在 点上进行离散化，且对时间的偏微分采 用向后欧拉公式得到原偏微分方程的离散化公式：（i=1,2.m） 5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 从图5-3中可见要由初值及边界条件一排一排推上去是不行的，需 解线性方程组,同时添上二边界条件：正好共有m+2个方程，同时有m+2个变量，就能解出n+1排上 各点值。（至于

12、线性方程组的求解方法我们在第3章中已作过介 绍，请读者自行参照第3章的内容）。这样，每解一个线性方程 组，就可以往上推算一排点的u值，虽然引入了方程组的求解， 有可能增加计算量，但由于隐式格式无条件稳定， 的取法与 无关，可以少计算许多排节点上的u值，相应于显式格式来说， 最终反而节省了计算量。 图5-3 5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 例5.2 请计算考虑纵向导热的套管换热器内管各点温度分布微分方程：解：首先根据前面的知识，将所求的方程离散化，先假设以下各式：代入微分方程并化简得： 分析式（5-3）可知，如果知道了某一时刻的各点t，（ j=0,1,2.10,11

13、），就可以求下一时刻的各点温度值 t(j=1,2.10),现在已经知道了零时刻管内各点的温度分布及入 口处在任何时刻的温度，如想求下一时刻的温度值，根据上面 的离散化计算公式，还需知道在j=11处的温度，这个温度可利 用给定的边界条件离散化求得：有了以上各式，上面的微分方程就可以求解了。 5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 和前面不考虑热传导的情况比较，可以发现温度有细微的变化 ，如果导热系数足够大，则温度的变化会更大。如导热项的系 数为0.2时，其计算公式变为：由于导热的缘故，已经加热的向前流动的流体却要向后方向进 行热传导，从而降低了总体传热效率，使在相同时刻、相

14、同位 置点的温度比没有热传导时要低。前 后 5.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 3、稳态导热/扩散方程 在化工导热及扩散过程中，没有物流的流动，仅靠导热及扩散 进行热量及质量的传递。如果此时系统达到稳定状态，也就是 说系统中每一个控制单元的各项性质如温度、浓度等不再随时 间的改变而改变，系统中的各种性质只与其所处的位置有关， 利用化工知识，我们可以得到下面二维、三维的稳态导热或扩 散偏微分方程：二维： 三维： 下面我们主要介绍二维的求解方法，二维的稳态导热或扩散偏微 分方程又称调和方程，其方程示意图见图5-4所示。 常见有三种边界条件： 第一类边界条件： 第二类边界条件： 第三类边界条件： 图5-45.15.45.35.2总目录5.3几种常见方程的离散化计算 在化工中碰到较多的是第一类边界条件，下面以第一类边界条 件为例，说明其求解方法：首先利用5.2中提供的离散化公式（不考虑u中的上标变量n）， 可得下面离散化公式：取 ，经化简得：对于每一个边界内的离散点 均可列出这样的五点格式。 若 中有边界点，用边界值代入。若 靠 边界很近，也可以看作边界节点，从靠它最近的边界点 上 的 值 来取代。由于此计算格式不存在时间上的递推问题 ，它