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1、第27卷 第1期 中国矿业大学学报 Vol . 27 No. 1 1998年3月 Journal of China U niversity ofM ining V为改正数向量;W为自由项向量;n为观测数;r为多余观测数,rn,R(A) =n-r=t(必要观测数) .当式(1), (2)使用线性规划求解时,其基变量收稿日期 1997205230数为r,非基变量数为t,故在其最优解V3=(v1,v2,vn)中非零分量数b不大于r,零分量数不小于t.用线性规划法解式(1), (2)时需将其标准化, 但这一过程为同解变形,不会改变解V3的性质. 现以一例说明绝对和法解的性质.如图1,有一 测角中点五边
2、形,A和B为已知点,P1,P2,P3和P4为未知点,观测了15个角度,按条件平差可列七个 条件方程:0. 75v1-0. 83v2+2. 01v3-1. 19v4+0. 12v5-1. 08v6+0. 70v7-1. 16v8+0. 85v9+0. 16v10=-4 ,v1+v2+v3+v4+v5+v6+v7+v8+v9+v10= 3 ,v1+v2+v11=-1. 4 ,v3+v4+v12= 1. 7 ,v5+v6+v13=-1. 9 ,v7+v8+v14=-1. 5 ,v9+v10+v15= 1. 6.图1 测角中点五边形 Fig. 1 The central point five2side
3、d figure of angular measurement对该中点五边形,观测19号角时仅有一个极 条件,观测110号角时有极条件和圆周条件各转载http:/一个,以后每增测一个角可多列一个图形条件.各 种观测方案下使用最小绝对和法求得的最优解见表1.表1 观测方案和改正数 Table 1 The observation projects and corrections改正数观 测 方 案18号角19号角110号角111号角112号角113号角114号角115号角v1 0 0 0 -0. 222 -0. 246 -0. 246 0 -0. 300v200000000v30-1. 990-0
4、. 134000-0. 683-0. 627v4003. 1343. 2221. 7001. 7002. 3832. 328v500000000v600000000v700000000v800001. 5461. 54600v90000000v1000001. 3001. 600v11-1. 178-1. 154-1. 154-1. 400-1. 100v120000v13-1. 900-1. 900-1. 900v14-1. 500-1. 500v1502V01. 9903. 2684. 6224. 6466. 5469. 1669. 355从表1可见,各组解中非零分量b的个数等于 各观测方
5、案下多余观测数r,而各组解中零分量的 个数都为必要观测数t= 8.为进一步说明问题,对 文献2中四个算例进行计算和分析,结果见表2.表2中除算例2外其它三个例子都能说明最小绝 对和解中的非零分量数等于多余观测数,零分量数 等于必要观测数.对算例2,解中非零分量数小于多余观测数是因为平差条件方程式中存在只含有 非基变量的条件式且其自由项为零,或者是因为由 这些条件可线性组合得到一个上述的条件式,该条 件可替代原条件式中参与线性组合的任意一个条件,以保持条件方程式仍然足数且独立.这种解中 非零分量数小于多余观测数,亦基变量中取零值的 情况在线性规划中称为最优解的退化.表2 算例分析 Table 2
6、 Analysis of examples算例v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10v11v12v13v14v15v16v17v181000. 3900. 4901. 09 -1. 50(n= 8, t= 4, r= 4, b= 4)200. 050. 95000. 2300. 45 -0. 1900. 6300(n= 13, t= 4, r= 7, b= 6)302. 7-0. 40. 40. 8002. 80. 70. 3-1. 7 -0. 2 -1. 101. 8-1. 31. 10. 4(n= 18, t= 4, r= 14, b= 14)400000. 58 -0. 3400.
7、0900-0. 240(n= 13, t= 7, r= 5, b= 5)注:算例14分别取自文献2中的例4212, 4213, 6212和6213.2 最小绝对和法抗差能力的讨论根据上述,可见观测值之间存在的条件数(即 多余观测数)在最小绝对和法的解中有重要作用. 最小绝对和法求解原则为 6V=6L-L= m in ,式中,L为平差值向量;L为观测值向量 1 也就是说,绝对和极小解具有中位数性质,或者说最小绝对和法的解是求样本的中位数.显而易 见,当不存在多余观测(r= 0)时,最小绝对和法不 能够抗差.存在多余观测时,通过6V= m in求 解的实质是在n个观测值中寻找t个观测值(这t个 观
8、测值被认为是无误差的),而将另外r个观测值进行改正,以消除它们与选定的t个必要观测值间 的矛盾.由6V= m in出发求得的解具有中位77第1期 张书毕等:最小绝对值和与最小二乘联合抗差估计 中国科技论文在线http:/数性质,故最小绝对和法在求解过程中选取t个必 要观测值时要求这t个观测值有这样的性质,即以 这t个观测值为基准出发而对其余r个观测值进行 改正,改正数V的绝对值和为最小.同时,最小绝对 和法还有这样的性质,即将残差(改正数)向某些 观测值(个数为r)积累,特别向那些带有大误差的 观测值积累,只有这样才能实现6V= m in.因 而,在一个通过最小绝对和法平差的结果中,带粗 差的
9、观测值总会得到一个很大的改正数,这一改正数较一般观测值的改正数而言要大得多. 当一个测量问题的多余观测越多,亦即总观测 数越多,6V= m in法在选取t个必要观测值时 范围越大,回旋余地越大.同时,约束条件数也增 多.这样,问题可更好得到优化而探测出粗差的存 在并定位.一旦粗差被探测和定位,就可以通过改 正数V使含粗差观测值回归到正常观测数据分布 的序列中并使其与具有中位数性质的那t个必要 观测值保持一致.下面用一个简单的事例说明.对 一真长L?= 100. 000m的长度进行测量,必要观测 数t= 1,设观测5次且观测值为L1= 100. 002m ,L2= 99. 997m ,L3= 9
10、9. 998 m ,L4= 100. 061m ,L5= 99. 995m.由6V= m in得L?的估值L=99. 998 m (L3为L1L5数列中的中位数).L1,L2,L4和L5均以L3为基准而被改正,改正数为v1=-0. 004 m ,v2= 0. 001m ,v4= -0. 063m ,v5= 0.003m.其中,根据v4在v1v5序列中表现出的离 群性可以发现带粗差观测值L4. 中位数具有最大崩溃污染率,具有良好的抗差 性能,这早在1964年已被Huber的论文6所论证. 由6V= m in得到的解具有中位数性质,当多余观测数大时,6V= m in求得的中位数解又能更好优化,那么
11、多余观测数应是衡量6V=m in抗差性的一个重要指标.3 LA S与L S联合抗差估计众所周知,观测数据不带粗差时,观测误差的经验分布与其理论分布(正态分布)能很好吻合,此时由最小二乘法(L S)得到的估值具有优良统计特性.而观测数据带有粗差时,观测误差的经验分布与其理论分布有相当显著的差异,从而使最小二乘估值失去其优越性,甚至于完全错误.这种参数估值的可靠性因一个或几个带粗差数据的破坏(理论分布(模型分布)与实际观测数据分布(经验分布)不符合)会使最小二乘估计的效率大大降低.在最小绝对和法(LA S)中,对观测数据的分布无具体要求,观测数据不含粗差时,最小绝对和法的估值不具备最小二乘估值的优
12、良统计特性.而当观测数据含有粗差时,其估值具有良好的抗差性(稳健性),较之最小二乘法而言又有较高的效率和较好的优越性.比较L S和LA S,本着扬长避短的思想,本文提出LA S与L S联合抗差估计法,简记为LA S+L S法.如前所述,LA S法能使带粗差的观测值得到发现,其表现在含粗差观测值改正数的绝对值较之一般改正数绝对值而言很大,即离群性.此外,LA S法的解有中位数性质,能以中位数为基准而将含粗差观测值改正,使其在被改正之后回归到正常的观测数据分布序列中.在通过LA S法对含粗差观测值的改正使其回归到正常观测数据分布序列中后,就有充分理由用L S法来求最终的估值.由上所述,在LA S+
13、 L S法中含粗差观测值将被改正两次一次用LA S,第二次用L S,而正常的不含粗差观测值仅用L S改正一次.这样,通过LA S对粗差的探测定位和改正,再用L S进行最终估计,从而纳取了LA S法的抗差稳健性和L S法的优良统计特性.实际测量工作中,观测的先验单位权中误差0可以被确定.对正常的不含粗差的观测值而言,观测值误差的经验分布与正态分布吻合很好,观测值误差的绝对值超过一定限值的概率为零,亦观测值改正数超过一定限值的概率为零.据此,在本文提出的LA S+ L S法中,根据LA S法得到的观测值改正数V中某元素vj作如下判断:如vj30,则认定该vj对应之观测值为带粗差观测值,该观测值需在
14、LA S中被首次改正;否则该vj对应之观测值认定为正常的不带粗差的观测值,其在LA S中不需要改正.所有观测值经过LA S的粗差过滤改正后再用L S求最终估值.LA S+ L S法具有以下优点:1)吸收了LA S的抗差稳健性和L S的优良统计特性.2)带粗差观测值通过LA S改正后回归到正常观测数据分布序列,这样该观测值可保留使用,从而保证了多余观测数.87 中国矿业大学学报 第27卷中国科技论文在线http:/3)实用、 简单、 方便.以下算例作为例证.4 算 例一测角网如图2.等权测角18个,A,B,C和D为已知点,P1和P2为未知点,观测数据取自文献2第282页例6213.先验单位权中误
15、差 0= 1. 8.观测方程见表3.图2 测角网 Fig. 2 The goniometric network表3 算例观测方程(V=AX+L) Table 3 Observation equations of the examplex1 y1 x2 y2 L- 5. 61 0. 18 0. 00 0. 00 - 20. 02. 461. 320. 000. 00- 0. 603. 15- 1. 500. 000. 003. 100. 000. 00- 3. 534. 77- 0. 900. 000. 000. 33- 3. 47- 0. 500. 000. 003. 20- 1. 302. 600. 000. 00- 2. 45- 1. 30- 3. 100. 000. 005. 650. 008. 500. 000. 00- 3. 201. 30- 1. 902. 62- 0. 89- 2. 29- 2. 58- 1. 20- 2. 46- 1. 32- 0. 333. 472. 90- 0. 162. 212. 62- 0. 89- 3. 30- 2. 620. 890. 17- 2. 19- 4. 002. 332. 60- 2. 620. 89- 8. 500. 29- 3. 492. 451. 3013. 20- 0. 293. 490.
