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1、- 1 -2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、 填空题123.4.5.二、选择题二、选择题6. 7. - 2 -8.9.10. 三、解答题三、解答题11. 12. 13.- 3 -14. 15. 16. 17. 18. - 4 -19. 20. 21. - 5 -20012001 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (二二) )试题试题一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分)1、=（ ） 213lim21xxxxx2、曲线在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ） 1)cos(2exyeyx3、=（ ）
2、 xdxxx223cos)sin(224、微分方程满足=0 的特解为：（ ） 1 1arcsin 2 xyxy)(21y5、方程组有无穷多解，则=（ ） 211111111321xxxaaaa二、单项选择题二、单项选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分)1、则=1101)(xxxf)(xfff（ A ） 0；（B）1；（C）； （D）1101 xx1110 xx2、时，是比高阶的无穷小，而是比0x)1ln()cos1 (2xxnxxsinnxxsin高阶的无穷小，则正整数等于12xen（ A ）1；（B）2；（C）3；（D）43、曲线的拐点的个数为22
3、)3() 1(xxy（ A ）；（B）；（C）；（D）4、函数在区间（1-，1+）内二阶可导， 严格单调减小，且)(xf)(xf =1，则) 1 (f) 1 (f （A）在（1-，1）和（1，1+）内均有；)(xfx（B）在（1-，1）和（1，1+）内均有；)(xfx- 6 -（C）在（1-，1）内有，在（1，1+）内有； )(xfx)(xfx（D）在（1-，1）内有，在（1，1+）内有)(xfx)(xfx5、设函数在定义域内可导，的图形如右图所示：)(xf)(xfy 则的图形为 ( ) )(xfy三、三、 （本题满分（本题满分 6 分）分）求221) 12(xxdx四、四、 （本题满分（本题
4、满分 7 分）分）求函数=的表达式，并指出函数的间断点及)(xfsinsinsinlim()sinx txtxt x)(xf其类型五、五、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设是抛物线上任意一点 M（） （）处的曲率)(xxy yx,1x半径，是该抛物线上介于点 A（1，1）与 M 之间的弧长，计算的值)(xss 2 22 )(3dsd dsd（曲率 K） 23)1 (2yy - 7 -六、六、 （本题满分（本题满分 7 分）分）在0，+）可导，=0，且其反函数为)(xf)0(f)(xg若，求xxfexdttg2)(0)()(xf七、七、 （本题满分（本题满分 7 分）分）设函数，满足=， =
5、2)(xf)(xg)(xf )(xg)(xgxe)(xf且=0，=2，求 )0(f(0)gdxxxf xxg02)1()( 1)(八、八、 （本题满分（本题满分 9 分）分）设 L 为一平面曲线，其上任意点 P（） （）到原点的距离，恒等yx,0x 于该点处 的切线在轴上的截距，且 L 过点（0.5，0） y 1、 求 L 的方程 2、 求 L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围成的图形的面积 最小 九、九、 （本题满分（本题满分 7 分）分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积 S 成正比比例系数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r
6、0 的雪堆 在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、十、 （本题满分（本题满分 8 分）分）在-a，a上具有二阶连续导数，且=0)(xf)0(f1、 写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；)(xf2、 证明在-a，a上至少存在一点，使 aadxxffa)(3)(3十一、十一、 （本题满分（本题满分 6 分）分）已知且满足 011101110 , 111011001 BAAXA+BXB=AXB+BXA+E，求 X十二、十二、 （本题满分（本题满分 6 分）分）设为线性方程组 AX=O 的一个基础解系，4321,，其中 为实常数144433322211,
7、ttttt试问 满足什么条件时也为 AX=O 的一个基础解系t4321,- 8 -20022002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学( (二二) )试题试题一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分)1设函数在处连续，则（ ） 00)(2arcsin12tanxxaexfxe xx0xa2位于曲线（）下方，轴上方的无界图形的面积为（ ） xxey x0x3满足初始条件的特解是（ 02 yyy21)0(, 1)0(yy） 4=（ 12lim 1 cos1 cos1 cos nn nnnn） 5矩阵的非零特征值是（
8、 ） 222222220二、单项选择题二、单项选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分)函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增)(uf)(2xfy x1x1 . 0x量的线性主部为，则y) 1 (f （）； （）；（）； （）函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是)(xf(A)； (B) ；xdttf 02)(xdttf 02)(C) ； (D) xdttftft 0)()(xdttftft 0)()(设是二阶常系数微分方程满足初始条件的)(xfy xeqyypy3 0)0()0( yy- 9 -特解，则极限)()1ln(lim20xyxx(A)
9、不存在； （）等于； (C)等于； (D) 等于设函数在上有界且可导，则)(xfR(A)当时，必有； 0)(lim xf x0)(lim xf x（）当存在时，必有；)(limxf x 0)(lim xf x(C) 当时，必有； 0)(lim 0 xf x0)(lim 0 xf x(D) 当存在时，必有)(lim 0xf x 0)(lim 0 xf x5设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由321,1321,2线性表示，则对于任意常数必有321,k（）线性无关；(B) 线性相关；21321,k21321,k（）线性无关；21321,k(D) 线性相关21321,k三、三、 （本题满分
10、（本题满分 6 分）分）已知曲线的极坐标方程为，求该曲线对应于处的切线cos1r6与法线的直角坐标方程四、四、 （本题满分分）（本题满分分）设函数，10012)(2)1(2 23xxxxxfyxxexe求函数的表达式xdttfxF 1)()(五、五、 （本题满分分）（本题满分分）已知函数在上可导，且满足)(xfR0)(xf1)(lim xf x，求xhexfhxxfh11)()(lim 0)(xf六、六、 （本题满分分）（本题满分分）求微分方程的一个解，使得由曲线0)2(dxyxxdy)(xyy 与直线以及轴所围成)(xyy 2, 1xxx的平面图形绕轴旋转一周的旋转体的体积最x- 10 -小
11、七、七、 （本题满分（本题满分 7 分）分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次曲线与线段 所围成当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为：，闸门矩形部分的高应为多少？h 八、八、 （本题满分分）（本题满分分）设，（，） 30nx)3(1nnnxxxn证明：数列的极限存在，并求此极限nx九、九、 （本题满分分）（本题满分分）设，证明不等式0 abababab baa1lnln222十、十、 （本题满分（本题满分 8 分）分）设函数在的某邻域具有二阶连续导数，且 )(xfx证明：存在惟一的一组实数，使得当时， 0
12、)0()0()0( fffcba,0h)()0()3()2()(2hofhcfhbfhaf十一、十一、 （本题满分分）（本题满分分）已知，为三阶方阵，且满足EBBA421证明：矩阵可逆；EA2若，求矩阵 200021021 B十二、十二、 （本题满分分）（本题满分分）已知四阶方阵， 均为四维列向量，),(4321A4321,其中线性无关，若，求线性方程组432,32124321的通解Ax- 11 -2003 年考研数学（二）真题年考研数学（二）真题 一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 若时， 与是等价无穷小，则 a= .0x1)1
13、 (41 2 axxxsin（2） 设函数 y=f(x)由方程所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程4ln2yxxy是 .（3） 的麦克劳林公式中项的系数是_.xy2nx（4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从 0 变到的一段)0(aea2弧与极轴所围成的图形的面积为_.（5） 设为 3 维列向量，是的转置. 若，则T 111111111T= .T（6） 设三阶方阵 A,B 满足，其中 E 为三阶单位矩阵，若EBABA2，则_. 102020101 AB 二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,则必有,nnncba0lim nna1lim nnb nnclim(A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立.nnba nncb (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. nnnca limnnncb lim（2）设, 则极限等于d
