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1、清北学堂 2009 年五一高中 7+1 数学班针对性测试题及答案班级 姓名 得分 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 36 分，每小题分，每小题 6 分）分）1.1.已知,为给定的正实数,则的最小值为( A A )(0,1)x , a b1ab xx (A) (B) (C) (D)2()ab 21()2ab ab 2ab 2.2.已知集合 An=Nnm1,7mx,221、且nnxx，则 A6中各元素的和为（ ） (A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990解：答案：C A6=，当 m=10 时，x=71Nm1,7mx,12864且xx当 m=18 时，x=127A6中各
2、元素的和为89129127)(713.3. 已知函数6sincos21 11)( xbxaxfx（a、b为常数，且1a） ，8)1000o(lg8glf，则)2lg(lgf的值是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) -4 (D) 与a、b有关的数解：答案：为奇函数，xbxsincos21 1a1g(x)x 8)1000o(lg8glf2lglg10lglog1000olg28gl)1000o(lgg8gl)2lglg(g)2lg(lgg，)2lg(lgf)2lg(lgg4.4. 满足20073xxy的正整数数对（x，y） （ ）（A） 只有一对（B）恰有有两对（C）至少有三对（D）不存在 解：
3、（B）设，其中 a，b 均为自然数，则 y=a+b，2007, 322xbxa。因为 b+a 与 b-a 有相同的奇偶性，且167322004)(222abababb+ab-a,所以或解得或 21002 abab 6334 abab 502500 ba 170164 ba5.5. 设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|2 : 1，14922 yx则三角形PF1F2的面积等于(A)(A)4 (B)13 (C) (D) 24213解：解：设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a、2b、2c，则由其方程知a3，b2，c，故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|
4、：|PF2|2：1，故可得5|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，三边之长分别为 2，4，2，而 2242(2)2，55可见PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为 2 和 4，故PFlF2的面积46.6. 已知,且,则的最小值是( D D ), ,x y zR 1231xyz 23yzx (A)5 (B)6 (C)8 (D)9二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 54 分，每小题分，每小题 9 分）分）7.7.如果边长顺次为 25，39，52 和 60 的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为( ) (A)62 (B)63 (C)64 (D)65解析：设 ABCD 为圆内接四边形，且 A
5、B=25，BC=39，CD=52，DA=60 由圆内 接四边形对角互补得C=180A 连结 BD，在ABD 与BCD 中,由余弦定理,得:2222cosBDABADAB ADA222cosCBCDCB CDC即2225602 25 60cos A 2239522 39 52 cos A 解得 cosA=0A=90，故 BD 为圆的直径65602522BD圆的周长为 658.8.已知整数tzy、x满足tzyx，且13142222tzyx，则tzyx等于 解：答案：24，括号内为奇数，)2221 (22222xxtxzxytzyx又，且；由于，可得657211x656222xtxzxy412656
6、4且，；同理可4x-y4022ytyz5y得10t8,ztzyx9.9.已知数列 na满足21a，52a，nnnaaa12(*Nn)， nS是数列 na的前n 项和，则2008S的值是 解：答案：数列的各项依次为，呈 na周期性变化，周期为，因为，4334620082008S10.10. 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：22 1164xy1F2F上. 当取最大值时，比的值为.382 30xy 12FPF12PF PF31【解解】 由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相12FPF12,F F切于P点。设直线l交x轴于A，则，即( 82 3,0) 12APFAF P ，1
7、2APFAF P:即 （1） 又由圆幂定理， 122PFAP PFAF2 12APAFAF（2）而，A，从而有，。代1( 2 3,0)F 2(2 3,0)F( 82 3,0) 18AF 284 3AF 入（1） ， （2）得。1122842 33184 3PFAFPFAF11.11. 设cba、为常数，函数，时当，时当)0x(x)0xc(f(x)2baxg(x)为一次函数，若f(0)f(2)，f(1)1，且关于 x 的方程f(x)g(x)的根是 x1=1，x2=3，x3=-2，则c的值为 解：答案：-5由，1 求得 a=2，b=2，又因为方程的根是f(0)f(2)f(1)f(x)g(x)x1=
8、1，x2=3，x3=-2，直线与抛物线交于（1，1）和（3，5）两点，故=，g(x)1-2x另一交点为（-2，-5） ，c=-512.12. 设0i ,12n ,*nN .则222 12sinsinsinnS 的最大值为 。 解：三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 60 分，每小题分，每小题 20 分）分）13.13. 46 个国家派代表参加亚洲数学竞赛，比赛共 4 题，结果统计如下：第一题对 235 人； 一、二都对 59 人；一、三都对 29 人；一、四都对 15 人。四题全对的 3 人，有一人只错了 第 4 题。求证：存在一个国家，这个国家派出的选手中至少有 4 人恰好只做对了第一
9、题。解设集合 A=全部选手，。13141234| 29,| 15,| 3AAAAAAAA9 44123124134 44123124134 4| | 3(14),| 3,| 3| 6i ii iAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA人只错第题12341234123423444114141442242112131412312| | |(| |)(| |)|iijijki iijij kiiiji iijiAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 又看44134 1| 2355929 156138i iAAAA可是由抽屉原理知 46 个国家中必存在一个国家，
10、至1234| 13946 3 1AAAA 少 4 人只做对第一题。14.14. MJ0002MJ0002 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,BAFBCE.求证：EBAADE. 证明：证明：如图,分别过点 A、B 作 ED、EC 的平行线,得交点 P,连 PE.由 AB CD,易知PBAECD.有 PAED,PBEC.显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有BCEBPE,APEADE.由BAFBCE,可知BAFBPE.有 P、B、A、E 四点共圆.于是,EBAAPE.所以,EBAADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联系 起来.APE 成为EBA 与ADE 相等的媒介,证法很巧妙.15.15. 设是实数，对任意三个实数 a,b,c 存在一个以k42421( )1xkxf xxx为三边长的三角形，求的取值范围( ),( ),( )f af bf bk解：恒成立 ( )0f x 令 4210xkx 2txPEDGABFC图2对称轴 2kt 0, 0 min020k kk ， 最小值两倍最大值 242(1)( )11kxf xxx 1k ( )1f x 1k min( )1fx 422 max213( ),3kxxxfx 故1k41k maxmin2( )1( ),13kfxfxk 1故-2结论：(,4)1-2
