《群论在固体物理中的运用(讲稿)p24-53_讲稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《群论在固体物理中的运用(讲稿)p24-53_讲稿（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、p15-44 群论- 1 -复习：子群 陪集 共轭元与类类的定理 定理一若 ，则 。kkCCC211XX逆定理若 ，则 。1XXkkCCC21定理二： 两个类的类乘（1.3-6）kkijkjiCcCC是一个非负整数。ijkc1.4 正规子群与商群 正规子群 1、共轭子群： XSX-1 2、正规子群： XSX-1 = S（不变子群）p15-44 群论- 2 -3、正规子群的性质商群 群 G 可以按正规子群 S 的陪集来分解G=S+SA2+SA3+SAi （1.2-4） 1、定义G/S= S, SA2, SA3, SAi （1.4-7） 2、商群的例子 C3V/S = S, SA 同构和同态 1、
2、同构 两个群的群元之间存在一对一的对应关系 （具有相同的群表） ，称这两个群同构。 2、同态 两个不同阶的群，群元之间存在多对一的 对应关系，称这两个群同态。一个群与其商群同态。3、同态核 Pp15-44 群论- 3 -大群 G 中与小群 G的单位元对应的群元集 合，称为同态核。 同态核定理：同态核 P 是 G 的正规子群。1.5 直积群 Ga=E, A2, A3, , Aga Gb=E, B2, B3, , Bgb 两个群满足 （1）只有单位元是共同的； （2）Ga的所有元与 Gb的所有元对易。 则 Ga与 Gb的直积群为 G= GaGb =EGb, A2Gb, A3Gb, , AgaGb
3、= E,A2,Aga,B2,A2B2,AgaB2, AgaBgb 例 1：6 阶循环群 例 2：Oh=OCi定理：如果 G= GaGb，那么 Ga及 Gb必为 G 的正规子群。半直积群p15-44 群论- 4 -两个群 Ga=E, A2, A3, , Aga Gb=E, B2, B3, , Bgb Ga在 Gb下不变，即 BiGa Bi-1=Ga，则集合 E,A2,Aga,B2,A2B2,AgaB2, AgaBgb 称为 Ga与 Gb的半直积群，记作 GaGb。作业 9：习题 11第二章第二章 群表示理论群表示理论2.1 群的矩阵表示 定义：群 G 的矩阵表示，就是一个与群 G 同态或同构的方
4、矩阵群。群 D3=E, C2A, C2B, C2C, , C3z1 3 zC（1）D3群的 d3表示： 100010001E 100001010A 010100001Bp15-44 群论- 5 - 001010100C 010001100D 001100010FC2AC2B= 对应于 AB=D.1 3 zC（2）D3群的 D3 (3)表示：坐标变换的矩阵表示： zyxRRRRRRRRRzyx333231232221131211 100010001E 100010001A100021 23023 21B100021 23023 21C100021 23023 21D100021 23023 21
5、F（3）D3群的 D3 (2)表示： 1001E 1001A 21 2323 21B 21 2323 21C 21 2323 21D 21 2323 21Fp15-44 群论- 6 -（4）C3V群坐标变换矩阵作为 D3群的表示： 100010001E 100010001A100021 23023 21B100021 23023 21C100021 23023 21D100021 23023 21F（5）D3群的一个三维矩阵表示 D： 100010001E 100010001A21 23023 210001B21 23023 210001C21 23023 210001D21 23023 21
6、0001F（6）D3群的高维矩阵表示：p15-44 群论- 7 -1000010000100001E1000010000100001A100001000021 230023 21B100001000021 230023 21C100001000021 230023 21D100001000021 230023 21F（7）D3群的同态群表示： 群 D3=E, C2A, C2B, C2C, , C3z1 3 zC正规子群 S=E, , C3z1 3 zC 100010001E 100010001A或二维表示 1001E 1001Ap15-44 群论- 8 -等。确实表示和不确实表示恒等表示（一维
7、的单位矩阵） E=(1), A=(1), B=(1), C=(1), D=(1), F=(1)表示的形式无限多。 一个群的基本基本表示（不可约表示）只有 有限的几个。表示的性质和表示之间的关系： （1）等价表示 M=S-1MS 两个等价表示的矩阵不同，但认为是 相同的表示。 例题： D3群的 d3表示： 100010001E 100001010A 010100001Bp15-44 群论- 9 - 001010100C 010001100D 001100010F与表示（5）D： 100010001E 100010001A21 23023 210001B21 23023 210001C21 230
8、23 210001D21 23023 210001F是相同的。相似变换矩阵 06231216131216131S计算：1S162061 62 610detS代数余子式p15-44 群论- 10 -，310622161) 1(11 11 S610312131) 1(21 12 S2123123262316131) 1(31 13 S 所以 02121626161313131det1332313322212312111 1SSSSSSSSSSS验证 100010001062 3121 61 3121 61 31021 2162 61 6131 31 311SSp15-44 群论- 11 - 062
9、3121613121613101010000102121626161313131)(1SBDS216131062312161310212162616131313121 23023 210001)( BD作业 10：验算 D3群的 d3表示与 D表示是 等价表示。另外，表示 D与 C3V群坐标变换矩阵也等 价；变换矩阵为， 010001100S 001100010 1S验算：p15-44 群论- 12 - 01000110021 23023 210001001100010)( 1SBDS 021 23023 21100001100010100021 23023 21)(BD（2）幺正表示 幺正矩
10、阵 UU=I，即 U=U-1 实正交矩阵 R 是幺正的。 正交变换：在欧氏空间中保持任意矢量长 度的线性变换。例如：D3群的坐标变换矩阵 D3 (3)表示：p15-44 群论- 13 - 100010001E 100010001A100021 23023 21B100021 23023 21C100021 23023 21D100021 23023 21FD3群的 D3 (2)表示（3） 、 C3V群的坐标变换矩阵 C3V (3)（4） ，都是正交变换矩阵，都是 D3群的幺正表示。有关幺正表示的定理 定理一定理一 有限群的任何非奇异的矩阵表示， 都可以通过相似变换变成幺正矩阵表示。定理二定理二 若群 G 的两个幺正幺正表示 DG和 DG 是等价的，那么，必然存在一个幺正矩阵 U，使 D(R)=U-1D(R)U 注意：等价表示 M=S-1MS（例题）
