流体力学chap边界层理论基础

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1、7 边界层理论基础 （ Elementary on Boundary layer theory）1 7. 1 边界层的基本概念 7. 2 层流边界层 7. 3 紊流边界层方程 7.4 边界层的动量积分及能量积分 7.5 边界层分离 7.6 绕流阻力27. 1 边界层的基本概念(a)(b)(c)限于恒定不可压缩流体二维流动3名 称xyuxuypX Y特 征 量LLy= LL L1UV= UUU 1p0gg无 量 纲 量x= x/Ly= y/L Lux= ux/Uuy= uy/UUp= p/p0X= X/gY= Y/g表1：引入各特征量，并将方程中得量无量纲化4表2：无量纲偏导数56(a)(b)(

2、c)7(a)(b)(c)无量纲运动方程组8大多数实际流动Re很大ReL 似乎应该有：特征量特征长度L 特征速度U 特征压强p0高Re时(量级在1010的范围),粘性力与惯性力 相比是很小的。若完全忽略粘性力，相应的有量纲运 动方程组变成理想流体的Euler方程组：9但理想流体的Euler方程组不能正确描述粘性流体的流动注意到Euler方程组只包含1阶导数，而N-S方程组包含 2阶导数。(DAlembert 佯谬)10直到1904年，由L.Prandtl创立的边界层理论 合理地解决了这一问题，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性 对流动的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层 内，这一薄层以外，可以

3、完全忽略粘性；这一 薄层称为边界层。边界层：在固体壁面附近，显著地受到粘性影响 一薄层117.1.1.速度边边界层层含义义考虑均匀来流绕一零冲角（攻角）薄平板流动：yxU (x)UUUU这一薄层内速度 梯度 很大边界层内粘性力不可忽略平板上u=0均匀来流速度名义边界层厚度：边界层内的流动状态：层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层（层流底层） ，其厚度与Re有关。层流边界层转变为湍流边界层的判别准则：为离平板前缘点的距离对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为：层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标雷诺数147.1.2. 边边界层层厚度：1)名义厚度 (x)的定义 ：2)边边界层层厚度估计U y

4、x0.99U（1）数量级（阶）估计数量级的概念：量大小的级别这里介绍美籍华人陈景仁（曾为衣阿华大学机械 工程系主任）教授采用的估计方法数量级分析（估计）： 是一种粗略定量估计，试图明确物理量的变化范围 。15例1 任一形状平面直径的估计已知：面积A 求：直径d面积A解： （1）等面积圆估计（2）等周圆估计例2 沙粒直径的估计等体积球体粒径：等容粒径以面积为特征：以周长为特征以体积为特征（3）等面积等周圆估计 以面积和周长为特征近似估值16复杂量估计涉及到导数，估计难度大，需要将方法 规范一下： 选特征量，将各量转换成无量纲量，且变化范围01 ,也就是说无量纲量的量级为1，记为： O(1) ；这

5、样使所有的偏导数的量级也等于1，O(1)。例如：x=010m，U=0100m/s，估计梯度带量纲只能估值：级的含义不明朗 进行代数的数量级估计。 X的特征量L ，U的特征量U无量纲量：x=x/L，U= U / U对该例无量纲估级 ：17例3 估计长度为L 的水平流道内 恒定均匀流压差产生的流速 已知： 粘性，流道高h，p1-p2 求：由p=p1-p2产生的流速U解 ：前面无量纲运动方程组中uy=0(a )(b)(c )p=p(x)L 1hp1p22U例4 估计层流边边界层层厚度和y方向速度表1中的特征量 p0=U2（Eu=1) 18无量纲运动方程组变为：略去质质量力：X=Y=0，Fr=019数

6、量级关系符号：数量级符号：O(f) 意为f 的数量级数量级关系 是等价关系（equivalent relationship）order of magnitude当按前述方法选特征量进行无量纲化，无量纲化 的变量及其无量纲偏导数的数量级均为1， 记为 ：O(1)估计数量级时注意：20O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)21因流动具有二维特征必有：近似有边边界层产层产 生于粘性，应应有：（7-1）（1）估计边边界层层厚度22（2）估计边边界层层内y方向流速（7-2）237.1.3.边边界层层的基本特征(以平板速度边边界层为层为 例 )1.

7、边界层厚度沿流动方向逐渐增加，即边界层沿流动 方向是发展的。 2.边界层厚度与壁面长度相比是小量，即 3.边界层内流速变化沿壁面外法线方向，即边界层厚度 方向由急剧到缓慢，愈近壁处速度梯度愈大，旋涡强度 也愈大。 4. 边界层内压强变化沿壁面外法线方向，即边界层厚 度方向近似认为不变，因此边界层内压强仅是壁面切 方向的函数，即 5.边界层内粘性力与惯性力属于同一数量级，即不能 忽略粘性力的影响。 6.边界层内有流态之分：可以区分层流区、临界区及紊 流区，在紊流区内沿壁面法方向又可分为三个层段，即 粘性底层、过渡层及紊流核心层。24O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)

8、O(1)O(1)O(1)O(1)7. 2 层流边界层（laminar boundary layer）7. 2.1 Prandtl层流边界层方程25有量纲Prandtl层流边界层方程：26yx (x)UU边界层外理想流体势流p+ U2/2=c p或U已知边界层内为实际流体适用下述边界层方程1 p12 p2p1= p2B.C.，ux u； ， ux (x)。问题 ：外缘流线？ 解（7-1a ） （7-1b ）（7-1c ）AB277.2.2 零冲角层流边边界层层方程的相似解法ABVelocity profile如果找到 使 ：其解 为相似解为 相似变量这种通过寻找 相似变量的解法称为相似解法引入流

9、函数，与速度的关系为：（71-1）（71-2）边界条件：将其代入简化后的边界层动量方程第一式 有 ：若求出了流函数，便可求出速度，应是，的函数，且中包含和（起参数作用），和不同时，同一空间点上的值不同。 现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现和。，为此限于无限长平板边界层。取 若用 表示，及的无量纲值，则有(71-3)于是（71-4 ）(7-1-5)（71-7）将(71-3) 、（7-1-4） 、（7-1-5） 代入（7-1-2）式，得（71-6 ）限于零冲角薄平板边界层 U=constant将上式代入方程（7-1-6），有(7-1-8)f 满足的是三阶非线性常微分方程边界条件为

10、：， f ， f ， f 1非线性的微分方程，得不到解析解。采用级数展开办法，或者直接进行数值积分。由于f 和均为无量纲量，且在方程及边界条件中只有纯数而不显含及，故所得结果可 以一劳永逸地应用。347. 3 紊流边界层方程（7-1a ）（7-1b ）（7-2-1 ） （7-2-2 ）35（7-2-1 ）（7-2-2 ）或写成：仍存在 不封闭问题 ！367.4 边界层的动量积分及能量积分Integrating equation of momentumand energy for Boundary layer （1）边界层的特征厚度yx(x)U名义厚度 (x)是人为划定的 因边界层的存在，通过单

11、位宽度、厚度为的截 面上的质量流量亏损为：边界层界限流线外偏理想流动中处的流线应平行于平板37位移厚度（排挤厚度）displacement thickness定义：物理意义 ：为补偿边界层内质量流量亏损，使得流线向 外排挤一个距离1 ，（理解为：质量亏损厚度） U1亏损流量=补偿流量（7-3）38动量损失厚度（7-4 ） 定义：物理意义 ：边界层内粘性的作用，通过断面的动量会产生动量损失。可用理想流体的速度流过某层厚度为 2 的截面的流体动量来代替，即： U2239能量损失厚度定义： 物理意义 ：边界层内粘性的作用，造成速度亏损引起断面的能量损失。 理想流体的能量通量： E1= U3粘性流体的

12、能量通量：边界层内总共损失的能量： E=E1-E2 U33 1*（7-5 ） 40*=总能量损失厚度*=1+3*的物理意义：边界层内实际发 生的总能量损失总能量损失厚度*由两部分构成：速度亏损引起的能量损失质量亏损引起的能量损失 U33 1*41已知：边界层内计算：1、2 、3例 7-1 42已知：溢洪道陡槽恒定泄流，顶部下游 近似为均匀流，单宽流量q，如果1-1断 面为边界层起始断面，U=constant，试证 ：例 7-2 (x)11xxxyx总水头线hU其中q 为边 界层内的单宽 流 量 证明 ：x-x断面:43（7-2-1 ）（7-2-2 ）紊流边界层（2）边界层积分方程有时略去时均符

13、号将层流和紊流边界层统一写为 ：Integrating equation for Boundary layer仍表示时均量44导出边界层动量积分方程常有两种方法：动量积分方程积分法和动量守恒法（）积分法： 对边界层方程施行积分：h（-1）45（-2）(-1)式代入第二项积分施行分部积分，注意边界层边界条件：（-3）（-3）代入（-2）（-4）46（-5）（-6）或写成 ：引入动量损失厚度和位移厚度21（-7）卡门动量积分方程，对层流湍流都适用应用动量定理来研究边界层内单位时间内沿 方向的动量变化和外力之间的关系。对恒定流动控制体边界ABCD（ ）动量守恒法：单位时间内经过面流入的质量和动量分别

14、为 ：单位时间内流出面的质量和动量分别为：对对不可压缩压缩 流体必然有质质量：从边界层外边界面流入，并带入动量： 单位时间内控制体内沿方向动量变化：作用在该控制体上沿方向外力：AB面:CD面:AC面:A,C 两点的平均压力面上作用在流体上的总切应力为： FBD0dx该控制体上沿方向诸外力之和为：式中略去了二阶小量可得到恒定流动条件下卡门动量积分方程式：在边界层内：=(x)，u=u(y) =(x)方程两个积分都只是x 的函数，则有 （ -8 ）这就是边界层动量积分方程，对层流和湍流 边界层都能适用。式中未知数有u，0和三个。求解方程要补充两个关系式：（2）切应力与边界层厚度的关系即 （）一般由经

15、验确定，与实际符合越好，计算结果就越精确,这是求解边界层问题的关键。(1)边界层内的速度分布uu(y）拉格朗日积分改写为：两个厚度: 动量损失厚度 2 ，排挤厚度1因为将这些结果代入（ -8 ）式得：或可写成即两边除以，稍加整理后得（ -9 ）排挤厚度动量损失厚度同样得到卡门动量积分方程（-6）：（ -6 ）58 能量积分方程对边界层方程施行积分：（ -1）（-1）代入：（ -2）59（ 7-4 ）代入：（ -3a）得到能量积分方程：（ -4）（ -3a ）（ -3b ）或（ -3c ）能否直接用能量守恒方法得到能量积分方程？607.5 边界层的计算（1）平板层流边界层 当平板长度Xkp510ux/，则整个平板边界层流动状态为层流。平板很薄，不影响边界层外部的流动,则边界层外边界上速度处处为，故动量积分方程 简化为：（-7）(7-6)（77）满足边界条件 y时 ux=0 和 y= 时 ux=U假设平板层流边界层内速度分布为：代入动量损失厚度得:而排挤厚度得：边界层的厚度计算将（77