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1、 基础知识一、等比数列的基本概念与公式1如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的 等于 ，这个数列叫等比数列，这个常数叫等比数列的 即 q(nN*，且n2)或q(nN*)或an 比同一个常数公比2若an是等比数列，则则通项项an 或an，当nm为为大于1的奇数时时，q用an、am表示为为q；当nm为为正偶数时时，q ana1qn1可变变形为为anAqn，其中A ；点(n，an)是曲线线y 上一群彼此 的点 单调单调 性： an是 ； a1qn1amqnm孤立递增数列an是 ；q1an是 ；q0an为为 若a，b，c成等比数列，则则称b为为a，c的 ，且b2 或b .因此，a，b，c是等比数
2、列递减数列常数数列摆动数列等比中项acb2ac或b ，其中ac0 3等比数列an中，Sn求和公式的推导导方法是 求和公式变变形为为SnBqnB(q1)，其中B 且q0，q1. 已知三数成等比，设设三数为为 或设为设为 四个数成等比，可设为设为 ，其中公比为为 . 乘公比，错位相减法a，aq，aq2q24等比数列的判定方法(1)an1anq(q是不为为0的常数，nN*)an是等比数列(2)ancqn(c，q均是不为为0的常数，nN*)an是等比数列(3)A anan2(anan1an20，nN*)an是等比数列(4)SnAqnA(A、q为为常数且A0，q0,1)an是公比不为为1的等比数列二、等
3、比数列的性质1amanqmn，q (m，nN*)2在等比数列中，若pqmn，则apaqaman；若2mpq，则a apaq(p，q，m，nN*)3若an、bn均为等比数列，且公比为q1、q2，则数列 pan、anbn、 仍为等比数列且公比为 ， ， ， q1q1q24在等比数列中，等距离取出若干项项，也构成一个等比数列，即an，anm，an2m仍为为等比数列，公比为为 .5等比数列前n项项和(均不为为零)构成等比数列，即Sn，S2nSn，S3nS2n，构成等比数列且公比为为 .6等比数列中依次k项积项积 成等比数列，记记Tn为为前n项项积积，即Tk、 成等比数列，其公比为为 . qmqmqk2
4、7等比数列an的前n项积为项积为 Tn，则则当n为为奇数时时，Tn 为为中间项间项 ) 8对对于一个确定的等比数列，在通项项公式ana1qn1中，a n是n的函数，这这个函数由正比例函数an 和指数函数uqn(nN*)复合而成当a10， 或a10, 时时，等比数列是递递增数列；当a10, 或a10， 时时，等比数列an是递递减数列当 时时，是一个常数列当 时时，无法判断数列的单调单调 性，它是一个摆动摆动 数列q10q10q1q1q1q0易错知识一、不理解等比数列的定义1设数列an为等比数列，则下列四个数列：a；pan(p为非零常数)；anan1；anan1其中是等比数列的有_(填正确的序号)
5、答案：二、等比数列的性质应用失误2等比数列an中，S27，S691，则S4_.答案：28三、忽视隐含条件失误3x 是a、x、b成等比数列的_条件答案：既不充分也不必要四、设元不当失误4若四个数符号相同成等比数列，还知这四个数的积，则可设这四个数为_答案：5若这四个数符号不相同成等比数列，还知这四个数的积，则可设这四个数为_答案： 五、等比数列中的符号问题6已知等比数列an中的a3，a9是方程x26x20的两根，则a6_，若改为a2，a10是方程的两根，则a6_.答案： 回归教材1(2009北京西城)若数列an是公差为2的等差数列，则数列2an是( )A公比为4的等比数列B公比为2的等比数列C公
6、比为 的等比数列D公比为 的等比数列 解析：n1， 2anan1224，所以数列2an是公比为4的等比数列答案：A2等比数列an中，a11，a103，则则a2a3a4a5a6a7a8a9( )答案：A3在等比数列an中，若a21，a52，则则a11_.答案：84(2009北京丰台)设设S1393n2(nN*)，则则S_.解析：由等比数列求和公式可得：S 答案： 5(课课本P133,7题题原题题)已知an是等比数列，Sn是其前n项项和，a1，a7，a4成等差数列，求证证：2S3，S6，S12S6成等比数列 .证明：由已知得2a1q6a1a1q3即2q6q310得q31或q3 当q31时即q1an
7、为常数列，2S3S6S12S6命题成立当q3 命题成立【例1】 an为为等比数列，求下列各值值(1)已知a3a636，a4a718，an ，求n；(2)已知a2a836，a3a715，求公比q；(3)已知q ，S815(1 )，求a1.命题意图 本题考查等比数列的基本公式解答 (1)解法一：又a3a6a3(1q3)36，a332.ana3qn332 n328n 21，8n1，即n9.解法二：a4a7a1q3(1q3)18且a3a6a1q2(1q3)36，q ，a1128又ana1qn127 n128n 218n1，即n9.(2)a2a8a3a736且a3a715，a33，a712或a312，a
8、73，(2008福建)设设an是公比为为正数的等比数列，若a11，a516，则则数列an前7项项的和为为( )A63 B64 C127 D128答案：C解析：a5a1q4，16q4.又q0，故q2，S7 (课课本P129习题习题 3.5,1题题)在等比数列an中，a31 【例2】 (1)已知等比数列an，a1a2a37，a1a2a38，则则an_.(2)已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则则S3m_(mN*)(3)在等比数列an中，公比q2，前99项项的和S99 56，则则a3a6a9a99_.分析 利用等比数列的性质解题解答 (1)a1a2a3a 8，当a11、a22、a34时
9、，q2，an2n1，当a14、a22、a31时，(2)an是等比数列，(S2mSm)2Sm(S3mS2m)，即20210(S3m30)得S3m70.(3)a3a6a9a99是数列an的前99项中的一组，还有另外两组，它们之间存在着必然的联系设b1a1a4a7a97，b2a2a5a8a98，b3a3a6a9a99，则b1qb2，b2qb3且b1b2b356，b3b1q232.答案 (1)4 总结评述 整体思想就是从整体着眼考查所研究的问题中的数列特征，结构特征，以探求解题思想，从而优化简化解题过程的思想方法在数列中，倘若抓住等差、等比数列的项的性质、整体代换可简化解答过程(2009山东济东济 南
10、)在等比数列an中，若a3a5a7a9a1132，则则 的值为值为( )A4 B2 C2 D4答案：B解析：由等比数列的性质可得：等比数列an中，a1an66，a2an1128，前n项项的和Sn126，求n和公比q.分析：利用等比数列的性质、建立a1、an的方程组求出n与q.解答：a1ana2an1128，又a1an66，列的前n项和公式时，注意公比是否等于1.如不确定要讨论.【例3】 (2008陕西)(文)已知数列an的首项a1 在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证证明数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项项和Sn；(3)求证对证对 任意nN*都有Sn14Sn命
11、题意图：本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力解答：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.所以，数列an的前n项和Sn 设设an，bn是公比不相等的两个等比数列，且cnanbn，证证明数列cn不是等比数列分析：考查等比数列的定义，证明一个数列是等比数列应从定义入手，证明一个数列不是等比数列，只需举出三项不成等比即可证明：采用分析法证明，设an、bn的公比分别为p、q，pq，cnanbn，c(a1pb1q)2ap2bq22a1b1pq，c1c3(a1b1)(a1p2b1q2)ap2bq2a1b1(p2q2)由于pq，p2q22pq，又a1，b1不为零，因此cc1c3，故cn不是等比数列总结评述：本题属于否定型命题，这类问题通常采用分析法或反证法证明，对这些证明方法与解题思想要灵活掌握1特别别注意q1时时，Snna1这这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为为等比数列，还还要验证验证 a10.3SnmSnqnSm.
