38 福建中学数学 2011 年第 3 期 22111( )[ln(1)ln5]ln222nf x dxnn+=++−=+−+∑∫所以， lnln2ln1nn>−>−． 2 22 111[ln(1)ln2]ln2211niknnnkn=1 2<+++−<+++∑． y 图 1 x 1 2 3 4 n 图 2 3 yx1 2 4 n 参考文献参考文献 [1]安振平．妙用抽屉原理证明不等式[J]．数学通报，2010（1） ，61-62 [2]陈炳堂． 证明数列不等式的新解法——构造不等式[J]． 数学通报， 2010 （2） ，36 另外半边的不等式对于n显然成立，当n时在图 2 中，类似有12=≥22 1211 2211nniikk kk===+<++∑∑圆系方程的推导及拓广 圆系方程的推导及拓广 刘 超 新疆石河子大学师范学院数学系（832003） 基金项目基金项目：新疆生产建设兵团普通高中课程改革规划课题（BTGKY08018） 课标课程教材中并没有“圆系方程”这个概念， 但 高考数学《考试大纲》却要求掌握圆的标准方程和 一般方程，理解圆的参数方程；在能力上能根据所 给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出 圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问 题．由此可看出，圆系方程无论从方法上还是从内 容上都是教学中必须引起重视的问题． 简单地说，圆系方程就是过两圆交点的圆的方 程式，可以写成已知两圆方程式的线性组合．即若 给定两圆Cx22 111:0从一般意义上说，圆的方程中有不确定的参数， 当参数变化时就得到一系列圆，这些圆构成的集合 就是一个圆系， 这个含参数的方程就是圆系方程． 利 用圆系方程解决有关圆与圆、圆与直线相交或相切 的问题，能简化解题步骤，快速而准确地得到结果． 1yd xe yf++++=与22 2:Cxy++ 2220d xe yf++=，两圆交于，B两点．则过AA，B的圆C的方程可以写成322 111()xyd xe yfα++++xyd xe yfβ+ 22 222()0++++=0．若α≠，则圆的方程可以改写为3C2222 1112()(yd xe yfxyd xβ α+++++++ x22)0e yf++=，即()2222 111(xyd xe yfk xy+++++++ 222)0d xe yf++=． 在平时教学中，教师往往没太注意给学生介绍 这种方法的方式和时机，使很多学生对此方法只是2011 年第 3 期 福建中学数学 39 一知半解，影响其正确和灵活运用．本文将给出圆 系方程的一个推导方法，期望学生能从中领会圆系 方程的基本思想． 如上图，首先不难验证过交点A、的圆，其圆心必与已知圆、的圆心与共线． 若设为原点，则 B3C3O1C2C1O2OO2211 11111:0(22deCxyd xe yfO++++=⇒−−，) 11 1()22deOO⇒= −−???? ?， 且 2222 22222:0(22deCxyd xe yfO++++=⇒−−，) 22 2()22deOO⇒= −−?????， 由，O及三点共线， ???1O23O得，其中31OOOOOOαβ=+?????2?? ?????1αβ+=． 因此， 1122 3()(2222dedeOOαβ=−−+−−?????，，) 1212()22ddeeαβαβ++= −−， =1212(,22ddee)αβαβ αβαβ++ ++−−， (因为1αβ+=) 所以，的圆心O坐标为 3C31212()22ddeeαβαβ αβαβ++ ++−−，． 再逆推，圆的方程为3C2212()ddxyαβ αβ+++++x 12()eeycαβ αβ++=+0，推得， 22 1212()()()()xyddxeeαβαβαβαβ+++++++0y)c+ =，进而推得， 2222 1122()(xyd xe yxyd xe ycαβ++++++++ 0= (*) 接下来求常数，由于交点c11()A xy，在圆与上 ， 故 满 足 方 程与2C22 11212120xyd xe yf22 111 11110xyd xe yf++++=1C++++=．又A点在圆C上，满足(*)式，推得 31O2O3O1C2C3C2222 111 111112121()()xyd xe yxyd xe yαβ+++++++ ，进而推得， 0c+ =12()()0ffcαβ−+−+=，12ffαβ=+c (由点也可得出相同的结果) ， B进一步整理(*)式得， 2222 1122()(1)(xyd xe yxyd xe yfαβα++++++++2)0，推得 fβ+=2222 11122()(xyd xe yfxyd xe yαβ+++++++++ 2)0f=， 并且当时，可改写为 0α≠2222 111222()()xyd xe yfk xyd xe yf+++++++++，圆系方程得证． 0= 在此基础上，进一步拓广：若一圆与一直线交 于两点，那么过两交点的圆是否可以表示为圆的方 程与直线方程的线性组合呢？ 1C2C1O2OL如上图， 给定圆Cx及直线22 111:01yd xe yf++++=222:0L d xe yf++=，则过与交点1CLA、的圆应如何表示呢？ B2C可以这样考虑：把直线看做是圆心在无限远 处， 半径为无限大的圆， 由上述对圆系的讨论， 过C与交点L1 、的圆C的方程可写为22 1(xyd x++ LAB211222)()0e yfk d xe yf+++++=． L也可从向量的角度加以证明． 因为的法向量L22)e(,nd=?， 加之O、两点共线，所以 12O21OOOOtn=+????????? ??11 22(,)(22det de= −−+，) 121( 2 )( 2 )()22dt det e+ −+ −= −−，21212()22dkdeke++= −−， (令)， 2k = − t1O2OO22(,)nd e=?40 福建中学数学 2011 年第 3 期 1212 2()22dkdekeO++−−，推得， 故圆的方程可表为 2C22 1212()()xydkdxekeyc++++++= 0)0)， 整理得， (**)，接下来求常数c， 22 1122()(xyd xe yk d xe yc++++++=由于点11(A xy，在圆与直线上，满足与． 1CL22 111 11110xyd xe yf++++=212120d xe yf++=又点A也在圆上，所以满足(**)式， 2C22 111 1112121()(xyd xe yk d xe yc++++++=)02 )， 推得． 1cfkf=+整理(**)式， 得到22 1122()(xyd xe yk d xe y+++++ 12()fkf++= 0)022 111222()(xyd xe yfk d xe yf+++++++=， 结论得证． 本文主要讨论了圆系方程及其推导，该方法可 以引伸到其它二次曲线中——如过两个二次曲线所 有交点的二次曲线，其方程可以设成这两个二次曲 线方程的线性组合．经验告诉我们，在尽可能的情 况下，转化为曲线与直线的组合更为简捷一些． 参考文献参考文献 [1]高卫东，乔凤．圆系方程法释疑[J]．中小学数学（高中版） ，2009（5） ， 39-41 [2]马健．圆系方程中圆的存在性、性质及应用[J]．数学教学通讯，2010 （2） ，46-47，61 [3]谢维勇．巧用圆系方程简化解题过程[J]．中学教研（数学） ，2008（4） ， 18-19 ，推得 以南京大学的自主招生试题为例谈一类不等式的证明 以南京大学的自主招生试题为例谈一类不等式的证明 陆建根 江苏省镇江中学（212017） 1．引例．引例 2008 年南京大学自主招生考试第二大题为： 设为 正 数 ， 且， 求a b c，，1abc++=2211abcab⎛⎞⎛⎞⎛+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝21 c⎞⎟⎠的最小值． 该题是不等式的一个常见问题，可以用基本不 等 式 或 柯 西 不 等 式 求 解 ， 还 可 以 推 广 为 ： 均为正数，12naaa…， ， ，121naaa++⋅⋅⋅+=，求证22 12 1211()()(n naaaaa++++++…21)a的 最 小 值 为22(1)n n+． 本文用构造函数，进一步寻找函数切线的方法 来求解，并例谈该方法在解决一类不等式时的运用． 解解 由于所要求解的代数式关于轮换对称， 所以猜想， 当a b c，，1 3abc===时取得最小值100 3． 下面来证明：222111 3abcabc⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++≥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠100． 把上式改写为 222110011001100[()] [()] [()]99abcabc+−++−++−≥09， ，，如果能找到常数使不等式( )f xxλμ≥+恒成立，则λ μ，构造函数21100( )()9f xxx=+−(0 1)x∈，( )f aaλμ≥+，( )f bbλμ≥+，( )f ccλμ≥+，相加得( )( )( )()33f af bf cabcλμλμ++≥+++=+． 若能使30λμ+=，即3λμ= −，则问题就解决了．下面我们来寻找满足上述条件的常数λ，μ． 21100( )()39f xxxxxλμμμ−−=+−+− 3222(31)[(3279)9] 9xxxxx xμ−+−−+=， 要使上式当时大于等于零恒成立，则(0 1)x∈，1 3x =32327992xxxxμ+−−+中必含因子31x−，把代入得160 9μ=160 9μ=．再把代入上式整理得 222(31) (549)( )9xxxf xxxλμ−++−−=． 当时，2549xx++恒大于零， (0 1)x∈，160160 93μλ== −，所以当时，( )0f xxλμ−−≥恒成立，所以 160160( )39f aa≥ −+， 160160( )39f bb≥ −+， 。