易拉罐设计数学模型

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1、12006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛山西赛区吕梁高等专科学校山西赛区吕梁高等专科学校第五队第五队参赛队员：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏 指导教师： 王亮亮 20062006 年年 9 9 月月 1818 日日22006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他

2、公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 吕梁高等专科学校 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 王亮亮 日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：32006 高教社杯全国大

3、学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：4易拉罐形状和尺寸的设计摘要本文研究易拉罐的形状和尺寸的设计问题。 体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念 出发，这个尺寸（半径和高）为 1：2。也就是说，对于易拉罐而言，当高是半径的 2 倍时，其表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料较少，生产成本较低。 但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不

4、是等边圆柱的，有的长些，有的短些，生活 中（市场上）的易拉罐为什么会是这样呢？ 经过我们调查测量，也发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸 几乎是一样的。经过测量生活中（市场上）饮料罐胖的部分的直径和高的比为 6.4/10.3=0.621，非常接近黄金分割比 0.618。这是巧合，还是这样的比例看起来最舒服， 最美？看来，这样并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。 事实上，体积一定的易拉罐的形状和尺寸的设计问题，不仅与表面积的大小有关， 而且还与易拉罐的上、下底面和侧面所用材料的价格有关，也与制造过程中焊接口的 工作量的多少和焊缝长短有关。此时，易拉罐就不再是等边圆柱了。 在本文

5、讨论中，我们假设 1、不考虑制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短 问题，只考虑了表面积和所用材料的问题；2、不考虑易拉罐底部上拱问题，模型中模 型的底部以平底处理；3、不考虑易拉罐的拉环。在以上假设的基础之上我们以 355ml 的可口可乐饮料罐的形状和尺寸为例进行讨论，应用层次分析法逐步建立了四个模型。 应用初等数学的知识算出了各个模型中的高和半径的比值、表面积和成本，最终讨论 计算结果认为当高与半径之比 4.68827 时，模型基本上与市场上的易拉罐形状和尺寸相 同。然后我们对生活中 355ml 的可口可乐饮料罐给出了我们自己的关于易拉罐的形状 和尺寸的设计。关键词：等边圆柱 易拉罐 注

6、：本文中提到的等边圆柱等边圆柱是指：圆柱的高与圆柱的底面直径之比为 1：1 的圆柱体。5一、问题的提出体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念 出发，这个尺寸（半径和高）为 1：2。也就是说，对于易拉罐而言，高是半径的 2 倍 时，表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱形时，消耗的材料最少，生产成本最低。 但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱形的，有的长些，有的短些，这 是为什么呢？ 由于在现实生活中，销量广的饮料的饮料罐在形状与尺寸上存在着惊人的相似 （如表1） ，这就不能不引起人们的关注。既然它能如此大面积、大范围的应用，其内 部必定存在着一定的合理性及

7、科学性，能给商家以无尽的利润。表1参数 产品圆柱体 直径圆台上 直径圆柱体材 料的厚度圆台盖材 料的厚度圆柱体高圆台高百事可乐65.5658.680.140.49109.8613.25 可口可乐66.4059.060.140.47110.4812.96 醒目65.8258.650.150.48110.4012.52 雪碧64.6058.840.140.49110.1212.64现要我们在体积一定的情况下（355ml） ，根据一定的理论，建立起数学模型，使 其用料最少，赢利最大。达到一种最优化的效果。 下面是关于 355ml 可口可乐饮料罐的有关数据（如表 2）： （单位： mm） 表 2参数次

8、数圆柱体 的直径圆台上 盖直径圆柱体 材料的 厚度圆台盖 材料的 厚度圆柱体 高圆台高饮料罐 总高第一次66.0059.120.140.48110.0012.30122.40 第二次65.9059.340.160.50111.2013.22124.66 第三次66.1058.900.140.46110.2012.90123.22 平均值平均值66.0059.120.140.48110.4712.81123.43附：此数据是我们组的 3 位同学用游标卡尺分别测量所得。二、模型的建立及求解模型： 根据等周原理，在所有周长一定的闭合图形中，圆的面积最大。所以在面积一定 的情况下，圆的周长最短。在实际

9、应用中，由于圆球的制造与应用的局限，所以我们 一般选用易拉罐的的形状为圆柱体还是具有一定的合理性。事实上，由于制造工艺等 因素，它不能正好是数学上的圆柱体，但这种化简假设是近似的合理的，材料的厚度 以及切割损耗等忽略。因此在这种前提下假设：61模型是用同一材料制成的正圆柱体，且其材料的厚度不记。 2圆柱体的半径为 r，高为 h，表面积为 S，体积为 V。 示意图如下：图 1根据图示有： hrV2222rrhS由，得 ： hrV22rVh代入，建立模型有：222rrhS2 222rrVrS化简为 222rrVS为了求的 S 的极值，将 S 对 r 求导，得：rrVrS42)(2/令,解得： 0)

10、(/rS, 3 2Vr drVV VV rVh222284333222 对于装有 355ml 的可口可乐易拉罐，当它的半径mm，837863902. 323553rmm 时，用材最少，此时的表面积约为 277.4981154。675727804. 72 rh2mm为了验证 r 确实是使 S 达到极小，计算 S 的二阶导数，)0(044)(3/rrVrSrh7所以这个 r 确实是使 S 达到局部极小，因为极小点仅一个，因此这个点也是最小点。 所以当圆柱体易拉罐的高度与底面直径相等时，它所需材料最少。即当易拉罐采取圆 柱体形状在时，为它的最优化设计。2:1:rh但此时的结果与我们所测的易拉罐的尺寸

11、并不相同（比如：我们所计算的结果 h:r=1：2，而所测量的结果比为 1：3.74） ，也即不能合理地说明我们所测量的尺寸。模型： 在理论上得出模型的基础上，又考虑到罐内饮料存在气体使罐内压强增大，所 以在设计时我们必须为其预留一定空间以缓解罐所受到的压力。 假设：11 立方厘米的水和饮料的重量都是 1 克。则对于 355ml（即 355 克）的可口 可乐，我们测得未打开罐时饮料罐的重量为 370 克，空的饮料罐重量为 15 克， 装满水的饮料罐重量为 380 克，这说明饮料罐不能装满饮料，而是留有 10ml 的空间余量。于是我们在模型的基础上另加一个体积为 10ml 的正圆台，来 作为易拉罐

12、的空间余量。 （圆台除了可以节约成本外，还能起到减少压力，使 封装结实的作用） 。 2易拉罐材料的厚度不记。3圆柱体的半径与高同模型相同，圆柱体的上部是一个上半径为，高为0r的正圆台。该模型总高为 H。0h4为了保证模型的圆柱体与我们所加的正圆台之间衔接牢固、耐压。我们不 妨设圆台母线与其底面的斜率为 0.3。 示意图如下：图 2建立模型，则有： 圆台体积)(3 . 0)(3110002 02rrrrrr将模型中的 r 值代入，求得：mmr43711064. 32255300r0hr8则圆台的高为：mmrrh120225978. 02255 23553 . 0)(3 . 03300 因此模型的

13、总表面积为： 002 0209. 122212rrrrrrrhS代入 r、h、的值，有；0r9011973.277S2mm此时，即时，为它的最优化设计。03132627. 20rhh rH此种结果也不能合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸 模型 假设：1. 模型的形状与模型保持一致,同时模型各部分的材料也相同。 2考虑到实际中易拉罐上底的强度必须要大一点，因此顶部的厚度与侧面的厚 度不同。我们假设罐侧面的厚度为 b，顶部的厚度为 3b。 3模型的底部与侧面的厚度相同。 模型侧面所用材料的体积为：bhrbrV22 132222bhbrbrhb模型顶盖所用材料的体积为：2 023rbV模型底部所用材

14、料的体积为：2 3rbV模型圆台侧面所用材料的体积为：brrbrbrV00409. 12221brrbrr02 02209. 1022 0209. 1209. 1rrbrrb模型总体所用材料的体积为：4321VVVVV022 0222 032209. 1209. 1322rrbrrbrbrbbhbrbrhb因为 br，所以带，的项可以忽略，因此：2b3b92 0222 009. 132rrbrbrbrhbV 32323232225509. 122553235509. 123555b=4.5693085343657ml模型下底的面积为： 2 1）（brS模型柱身的面积为： )(22bhbrS模型圆台顶盖的面积为： 2 03)(brS模型圆台侧面的面积为： )(09. 1)(2)(221004rrbrbrS模型总的表面积为： 4321SSSSS代入相关数据，有： 48343275417.279S此时，模型的高模型的