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1、、数学思维的变通性 :根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性 :提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。三、数学思维的严密性 :考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。四、数学思维的开拓性 :对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解。第一章第一章 数学思维的变通性数学思维的变通性 一、变通性的概念一、变通性的概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1 1）从题目角度
2、出发，善于观察）从题目角度出发，善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题
3、方法。从做题角度上看，就是一切从题目角度出发，题目让干什么，我们做什么。题目没有提到的，一概先不思考。只有从解题角度上，需要的知识点，题目没有提到的，我们才思考。由此，我们可以看出，并不是题目难解，而是我们没有观察出题目的关联性。由此，我们可以看出，并不是题目难解，而是我们没有观察出题目的关联性。（2 2）从条件入手，善于联想）从条件入手，善于联想联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。（3 3）善于将问题进行转化）善于将问题进行转化
4、数学家 G . . 波利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题的连续变换。数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善
5、于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。看到这里，我想，你就会有一个概念，数学是相通的，是可以将一个条件或结论转化为多种形式出现的，一旦你抓住了根本，就能马上做题。一旦没有抓住，而苦苦思索是必然的。二、思维训练实例二、思维训练实例（1 1） 观察能力的训练观察能力的训练虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。思维障碍思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生
6、没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。做题时不要盲目解题，以题目为主，不要看到题，就联想知识点，这种做题方式只适合简单题，而不适合大题。（2 2） 联想能力的训练联想能力的训练思维障碍思维障碍有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。思路 2：由于是选择题，题目只给了一个条件，并且显然必有一个结论是正确的，C 是钝角，求的是 tgAtgB 的值，不妨构造A=B=30，C=120，那么问题
7、迎刃而解。这就是根据题目限定的范围，进行的联想。很多选择题，填空题，都可以这么联想。（3 3） 问题转化的训练问题转化的训练我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。1 1 转化成容易解决的明显题目转化成容易解决的明显题目思维障碍思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为 1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有
8、效手段。2 2 逆向思维的训练逆向思维的训练逆向思维也称为必要性思维。不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。问题的思考角度为：要想得到这个结论，所需要的前提条件是？不断逆推，直到条件可以利用。思路分析思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。解析：题目要证明至少有一个不小于 1，那么我们不妨假定三者全部小于1，带入验证，发现结果不成立，从而肯定了“至少一个小于 1”的结论。用必用必要性思
9、维进行表达：至少有一个不小于要性思维进行表达：至少有一个不小于 1=1=如果全部小于如果全部小于 1 1，则不成立。前面的，则不成立。前面的全部例子都可以用必要性思维进行验证。全部例子都可以用必要性思维进行验证。 3 3 一题多解训练与一解多题训练一题多解训练与一解多题训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。这类题型太多，我就不举例子。在整理大量题的过程中，我们会发现，很多题型虽然考法不同，应用知识点不同，考察形式风马牛不相及，但是整体的思
10、路非常趋于一致！那么这种思路就是“一解多题”的思路。其实一解多题并不神秘，相反非常简单。我们看前面的例题，第一道题求和的思路是，把结论换成熟悉的公式，即简化思想。或者用逆向思维，要想求得这个结论，必须得出什么条件第二个例题求方程组的思路是，把方程组转化为我们所熟悉的一元二次方程，也是简化思想再看后面的题，解题过程如果从正向角度而言，不外乎是简化，推导、应用知识点。如果从逆向思维来考虑，也是找到入手点，寻找问题成立或不成立的前提，然后转化条件这就是一解多题的思想。当然，这里的“解”指的是思路，而不是固定的方法。如果抛却题目难度和知识点的差异，甚至解题的步骤都趋于一致。综合：1 学会从题目入手 学
11、会从题目所给的条件中去寻求知识点做题 任何一道考题题目和条件之间必然有关联性，必定有方法可以做出来 知识点所占的部分在考题出现过程中基本上属于过渡型桥梁阶段 我们要高效率做题，自然要从题目本身入手，寻求题目和条件中的蛛丝马迹做题 但是水平较高的考生会不自觉地根据现有条件可观的推导缺失信息，自然而然的引出知识点，从而把题做出。大部分考生依赖做题经验首先想到知识点，再由这个知识点多方向推测，最终验证出结果，或者由于方向过多导致明明知识点会，而无从入手，导致花费大量时间或丢分，甚至错误的用类似知识点去思考，这是对考试认识的不足 2.客观审题，利用题目所给的条件做题 首先强调，客观思维是获取高分的第一
12、要素，尤其是英语和理科学科。 当然转变一种思维模式是比较困难的，但是一旦摸清了这种思想，再看题目，就会发现很容易。试题中存在许多迷惑信息，往往引起考生主观联想，导致走上歧途，始终记住，你不是出题者，只能凭借题目现有的文字资料做题，没有说的一概不能想象，当且仅当文字提到，或者能 形成这些文字的必要条件的，我们才能认可。比如前两天一个同学问我一道丢分率相对较高的生物考题：用某种药物饲养动物一段时间后测得实验组比对照组动物血浆中血红蛋白含量明显增高。该药物的作用可能是。A.增强血红蛋白的合成能力；B.提高血浆蛋白的含量；C.增加红细胞的合成数量；D.对红细胞有破坏作用。用知识点“血红蛋白存在于红细胞
13、内”去思考的话，是极其容易选 A、C，尤其是 A 的，这都是主观思维，题目没说增强血红蛋白的合成能力就表示含量增高，打比方说你饭量增加，但是能说明你吃的饭一定多吗？节食减肥不行吗？C 选项明显不对，细胞多和含量没关系，一碗饭几个人吃都行；B 讲的是一种结果，不是原因，显然不对；D 形成的结果能够题目条件的必要条件，自然选 D，红细胞破了，血红蛋白自然会溢出到血浆中去，这个是可作为必要条件的，所以是正确的。很多题都可以这么做，当你保持可观性审题思维的时候，往往能够正确的分析题目所求的结果，无论是大题还是选择填空题所谓难题，难在怎么从题目分析，而不是知识点。这道题大家即使能做出来，但是谁能明白是如
14、何做出来的吗？在做题时，式子的全部变形，直接体现在问题所问的和题目给出的条件到底差在哪。大家要根据式子所给条件的差距，决定思维往哪想，而不是根据脑中的知识点，以后大家要反过来记住，是由差距来判断、决定知识点，而不是想由知识点去弥补这个差距。每次做题训练的时候，哪怕不会做看答案，也按照这个思维去套 这才是真正的客观审题，在审题过程就就该由着题目决定你该往哪走，不仅数学如此，所有学科都存在同样的道理。就如语文，即使是考察非常发散性的、主观性的作文，也必须要求你不能离题，因此同学们做题的时候，一定要记得：从题目入手，客观审题、利用题目所给的条件做题，才能百战百胜，每一道题都用这种思维做，将没有难题
15、3、理科形成相对固定的解题思维和步骤 形成相对固定的解题思维和步骤指的是一门学科用一种或者两三种思维，制定一定的步骤全部拿下。就比如说前面举的数学例题，这种根据题目条件寻求差异点的思维就能解决大部分的题，除了立体几何、排列组合外，都能解答出来。只有当题目条件过多或者过少的时候，我们采用逆向的思维，就是必要性思维 即从结果递推出满足这个结果的必要条件 有人说英语没步骤吧？英语有其思维步骤，做任何英语题，大家都习惯边读心里边翻译，大家要加强这方面的训练，掌握句子的语义就能拿下大部分题。读题解题顺序是：首先读懂认识的单词，大致了解句子的语义，水平较差的只要从句子中了解这句话大意是一个什么玩艺做什么什
16、么动作或者怎么着这种模糊的概念即刻，然后判断对象、时间、动作发生的性质（持续、终止、停止），弱化语法及句子的结构分析，将主要精力放在语义上 那文科有相对固定的解题思维和步骤吗？有的，但是因为文科类题型较为丰富，只能大概的总结归纳下：读题方向的把握，第一步，看清问什么，尤其是选择题，与问题无关的第一时间排除，哪怕是出自原文。第二步，抓住题目暗示的知识点展开，尤其是政治部分，描述了一些史实，叫你表达，要看清楚提干重点表达什么思想，自己别以为他要你答什么，看侧重点。第三步，因为主观式答题，将要点先列出，再阐述，第四步，细节修饰，这个比较重要，可以对遗漏部分做一个补充。这里只讲答题步骤，至于思维部分，主要还是来源于题，抓住重点。1、题目看不懂2、曲解题意3、明白题目意思，但不知道该如何转化4、题目非常熟悉，并且大致知道怎么解答，就是无法写下去5、会做，但是走了很多弯路，尝试不止一次才能做对6、完全会做，但是拿不到全部分数
