《数学——2011年高水平大学自主选拔学业能力测试》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学——2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011 年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学数学注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。合题目要求的。1设复数 z 满足且，则| 1z 15|2zz| z （A）（B）4 53 4（C）（D）2 31 2 【答案】D解：由得，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍15|2zz25|
2、1|2zz 去） ，。1 22在正四棱锥 P-ABCD 中，M，N 分别为 PA，PB 的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线 DM 与 AN 所成交角的余弦值为2（A）（B）1 31 6（C）（D）1 81 12 【答案】B 分析本题有许多条件，可以用“求解法” ，即假设题中的一部分要素为已知，利用 这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为 2） ， 利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用 两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。解法一：如图，设底面边长为 2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高2
3、为。如图建立坐标系，则 A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，2P(0，0，)，则，21121 12( ,),( ,)2222 22MN。设所成的角为，则3121 32( ,),(,)2222 22DMAN 。1cos6DM ANDMAN A 解法二：如图，设底面边长为 2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高2为。平移 DM 与 AN 在一起。即 M 移到 N，D 移到 CD 的中点 Q。于是 QN = DM = 2AN。而 PA = PB = AB = 2，所以 QN = AN = ，而 AQ = ，容易算出等腰 AQN 的顶35角。1cos6AN
4、Q解法三：也可以平移 AN 与 DM 在一起。即 A 移到 M，N 移到 PN 的中点 Q。以 下略。3过点的直线 与曲线相切，且不是切点，则直线 的( 1,1)l3221yxxx( 1,1)l斜率是 （A）2（B）1 （C）（D）12zONMDCBAPyx【答案】C4若，则的最小值和最大值分别为2 3AB22coscosAB（A）（B）3 31,221 3,2 2（C）（D）331,12212,122【答案】B分析首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：降次：22coscosAB把三角函数的平方去掉；去角：原来含两个角，去掉一个。解：221 cos21 cos21coscos1(cos2
5、cos2 )222ABABAB ，可见答案是 B11 cos()cos()1cos()2ABABAB 5如图，O1和O2外切于点 C，O1，O2又都和O 内切，切点分别为 A，B。，则,AOBACB（A）cossin02（B）sincos02（C）sin2sin0（D）sin2sin0【答案】B 分析题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就 可以去掉三个圆，已知条件变为：O O1 O2边 O1 O2上一点 C，O O1、O O2延长 线上分别一点 A、B，使得 O1A = O1C，O2B = O2C。解法一：连接，C 在上，则，12OO12OO1221OOOOO O，
6、故11121 2O ACOCAOOO 22211 2O BCO CBOO O ，1212211()22OCAO CBOOOOO O，。12()2OCAO CB sincos2解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在B A O1 O O2 C 本题中假设两个小圆的半径相等，则，12212OOOOO O ，12121 24OCAO CBOOO ，。12()2OCAO CB sincos26已知异面直线所成 60角，A 为空间中一点，则过 A 与都成 45角的平面, a b, a b（A）有且只有一个（B）有且只有两个 （C）有且只有三个（D）有且只有四个 【答案】D
7、分析已知平面过 A，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向， 我们考虑它的法线，并且假设 a，b 为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交 直线 a，b 成 60角，求空间中过交点与 a，b 都成 45角的直线。答案是 4 个。7已知向量，。则(0,1)a31,22 b31,22c(1,1)xyzabc的最小值为222xyz（A）1 （B）4 3（C） （D）23 2 【答案】B解：由得(1,1)xaybzc3331()122211222yzyzyzyzxx， 由于，可以用换元法的思想，看成关于22 2222()() 2yzyzxyzxx，y + z，y - z 三个
8、变量，变形，代入2 3 2(1)yzyzx 22 2222()() 2yzyzxyzx，答案 B222228242(1)343()3333xxxxx8AB 过抛物线焦点 F 的弦，O 为坐标原点，且，C 为抛物线准线24yx135OFA与 x 轴的交点，则的正切值为ACB（A）（B）（C）（D）2 24 2 54 2 32 2 3【答案】A 解法一：焦点 F（1，0） ，C（-1，0） ，AB 方程 y = x 1，与抛物线方程 y2 = 4x 联立，解得，于是2 22 2)2 22 2)AB ，答2 222 22 222 22 2CACBkk=，=-tan2 21CACBCACBkkACBk
9、 k案 A 解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形 ABCD 中，BAD = 45，EFDA，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求AEB。BGCEDAF。类似的，有2tantan2DEGFAEFEADADAF，2tantan2BEFEBC2AEBAEFBEFAEF ，答案 Atantan22 2AEBAEF9如图，已知ABC 的面积为 2，D，E 分别为边 AB，边 AC 上的点，F 为线段 DE 上一点，设，且，则BDF 面积的最大值为,ADAEDFxyzABACDE1yzx（A）（B）8 2710 27（C）（D）14 2716 27 【答案】DBACD EF
10、解：，BDFBDEBDEDFSSzSDE(1)BDEABEABEBDSSx SAB，于是。将ABEABCABCAESSySAC(1)2(1)BDFABCSx yzSx yz，暂时将 x 看成常数，欲使 yz 取得最大值必11yzxyzx，变形为须，于是，解这个一元函数的极值问题，1 2xyz21(1)(1)2BDFSx x时取极大值。1 3x 16 2710将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形，这些对角线在正 11 边形内两两不相交， 则 （A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形（B）存在某种分法，所分出的三角形恰有 2 个是锐角三角形 （C）存在某种分法，所分出的三角形
11、至少有 3 个锐角三角形（D）任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 【答案】D 解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设 ABC 是 锐角三角形，我们证明另一个三角形 DEF(不妨设在 AC 的另一边)的(其中的边 EF 有可 能与 AC 重合)的D 一定是钝角。事实上，D ADC，而四边形 ABCD 是圆内接四边 形，所以ADC = 180-B，所以D 为钝角。这样就排除了 B，C。FEDBCA下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。DBCA假设 ABC 中B 是钝角，在 AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在 AC 的另一侧的 相邻(指有公共
12、边 AC) ACD，则D = 180-B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同 样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是 D。二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11 （本小题满分 14 分） 已知ABC 不是直角三角形。 （I）证明：；tantantantantantanABCABC（II）若，且的倒数成等差数列，求tantan3tan1tanBCCA sin2 ,sin2 ,sin2ABC的值。cos2AC解：（I），整理得tantantantan()tantan1ABCABAB tantantanta
13、ntantanABCABC（II）由已知，与（I）比较知3tantantantantanACABC。又，tan33BB，=11224 2sin2sin2sin23sin3ACB，而sin2sin24 sin2 sin23AC ACsin()cos()1 cos2()cos2()3ACAC ACAC，3sin()sin2ACB，代入得，1cos2()cos22ACB 2cos2() 13cos()ACAC ，24cos ()3cos() 10ACAC 1cos()14AC，6cos124AC ，12 （本小题满分 14 分） 已知圆柱形水杯质量为 a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽
14、略不计，且水 杯直立放置） 。质量为 b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。（）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；2ba （）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为 1。 （I）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位1 21 4置为1123724 2320 AA(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装 x 克水。这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x。水杯的重心位置为，水的重心位置为，1 22x b水面位置为，于是，解得x b1 22xaxxb axb AA 2xaaba13 （本小题满分 14 分）已知函数，令，。2( )xf xaxb(1)1f12 23f11 2x
