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1、高斯函數和它的一個現實原型徐瀝泉摘要: 本文從研究分數部分函數 x x入手, 結合具體實例給出了它的一個現實原型 t =360 1111T180360 +3 2 T (鐘表之長短針直交公式), 並從它的 Fourier 展式 導出了一類參考級數和一個“優美比”:22=113+1 51 7+1 91 11+ 1+131 51 7+1 9+1 111. 對高斯函數性質的再認識命 x 為一實數, 以 x 表不大於它的最大整數, 則 x x x + 1, 顯然0 x x 1。故稱 xx 為 x 的小數部分 (分數部分), 記為 hxi。 於是x x = hxi.(1)函數y = x x 或 y = h
2、xi.(2)在數學分析著作中大都有所提及。 本文研究它的一重要性質, 下文中給出了它的一個饒有興趣的現實原型。先給出 y(x) 的直觀的圖像表示如下:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23xy圖1參考圖 (1), 易見下列事實 (證明略):1. 函數 y(x) 的周期 (最小正周期) 為1。2. 在整個區間 (,+) 上, x =
10、 k(k Z 為整數, 下略) 時 y 左不連續,餘皆連續。3. 函數 y(x) 有 Fourier 展式。在區間 12,1 2 上進一步研究函數: (i) y(x) 只有一個間斷點 x = 0;(ii) 可把這區間分成兩半 12,0) 和 0,1 2, 且在每一部分上 y(x) 單調遞增。 如所知:y = hxi = x x= x12=x(1)=x+1, x1 2,0);x0=x0=x, x 0,1 2.(3)於是 y(x) 在區間 12,1 2 上分兩段可 微, 即滿足 Fourier 級數收斂定理中的條件,88高斯函數和它的一個現實原型89從而可得 y 的 Fourier 展式為y=a0
11、 2+Xk=1(akcos2kx+bksin2kx)x 12,1 2 0 注意到 (3) 並利用奇偶函數的性質, 便可很快確定其 Fourier 係數:a0= 2Z1 212hxidx = 1,ak= 2Z1 212hxicos2kxdx = 0,bk= 2Z1 212sin2kxdx = 1 k.從而得y = hxi = x x=1 21 Xk=1sin2kx k,x 12,1 2 0.(4)(4) 式右邊級數的和在間斷點0處等於f(0+)+f(0) 2=0+1 2=1 2.若以1為周期, 把這級數延拓到 (,+) 上, 則當 x 取所有的實數值時, 它都收斂, 且其和函數以1為周期重複取遍
12、它在區間12,1 2 上所取的那些值, 即:S(x)=121 Xk=1sin2kx k=y = hxi = x x,x (2k1)12,(2k+1)1 2 k;1 2, x k.圖 1-1 就表示這級數的周期延拓。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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