《量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.10-5#5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.10-5#5（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.10 一个粒子处在二维无限深势阱0 ,( , )x yaV x y （0）（其他）中运动，现加上微扰,H(0,)xyx ya，求基态能量和第一激发态的能量修正值。 解：粒子的哈密顿量是 , 0HHH 222022,()( , )2(0,)HV x ymxyHxyx ya 0H的本征值和本征函数，即能量和波函数的零级近似是： 121222 022 (,)1212212 0 (,)() 2 2sin()sin() ,0 n nn nEnnn nma nnxyx yaaaa （ ）（ ）（ ,=1,2,3）（0） （其他）对于基态，即22 00 12(1,1)(1,1)22,sin()sin()
2、nnExymaaaa（ ）（ ）=1,=1,， 记22 0000 0(1,1)0(1,1)22,sin()sin()EExymaaaa（ ）（ ）（ ）（ ）此时，非简并。 故： (1),(0),(0) 000002002|2sin()sin()4aaEHHxyxydxdyaaa a 即基态能量的一级修正为24a。 对于第一激发态，即 22 00 12(1,2)(1,2)222 00 12(2,1)(2,1)2522sin()sin()2 522sin()sin()2nnExymaaaannExymaaaa（ ）（ ）（ ）（ ）=1,=2，或 =2,=1， 此时二重简并。 为简便，记22 0
3、00 1(1,2)(2,1)200 11(1,2)00 12(2,1)5 2 22sin()sin()22sin()sin()EEEmaxyaaaxyaaa（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）所以: ,0,0 1111,1111112002|22sin()sin()4aaHHHxyxydxdyaaa a （ ）（ ）,0,0 1211,1211110024|2222 sin()sin() sin()sin()256 81aaHHHxyxyxy dxdyaaaaaa a （ ）（ ）同理，2 , 22114aHH，2 , 21124256 81aHH 。 所以：22142214256 48
4、10256 814aaEaaE （1）（1）故：2221442561024(1)481481aaaE （1）， 即第一激发态的能量一级修正值是241024(1)481a 。 5.11 类氢离子中，电子和原子核的库仑作用为2 ( )ZeU rr ，当核电荷增加 e（从 ZZ1） ，相互作用能增加2 ,eHr ，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较。 解：微扰法： 当 ZZ1，类氢离子的哈密顿量变为： , 0222 2, 0,2HHHZeeHHmrr 第 n 能级：4 (0)2 222nmeEZn (0)( )( , )nlmnllmRr Y 由于2 ,eHr ，只与r有关，根据球谐函数的正交
5、性知： ,0,0 ()()()()()()220|( )|nlmlm l mnlm nl mnl mnlllmmHHHeRrrdr （ ）（ ）故矩阵,H只有对角线上的元素不为 0，其他元素均为 0。 根据( )nlRr的性质， 20|( )|nlRrrdr只与n有关，而与l无关。 2 2 2220|( )|nlZmeRrrdrZn an,0,0 ( ,)( ,)( , ,)( , ,)( , ,)( , ,)22 ,0422|( )|l m l mn l m n l mn l mn l mn lHHHHeRrrdrmeZn （ ）（ ）即矩阵,H对角线上的元素都是422meZn，故此时，(1
6、) nE是2n次重根： 4 (1), 22nmeEHZn 故能量的一级修正为4 (1) 22nmeEZn 。 严格解：由4 2 222nmeEZn ， 当 ZZ1 后，4 ,2 22(1)2nmeEZn ， 所以， 44 ,22 2222422(1)22 1()2nnnmemeEEEZZnn meZn 即严格解是4221()2nmeEZn 。因此，Z 越大，微扰计算的结果就越接近精确解。 5.12 求氢原子 n=3 时的斯塔克效应。 解：当 n3 时，0H的本征值为： 422 (0) 322,1818meeEaame 为第一波尔半径 简并度为 9，相应的波函数是： 33( )( , ),(00
7、;11,10,1 1;22,21,20,2 1,22)lmllmRr Ylm 微扰作用势为：, 104cos3He re rY。 由于,H和zl对易，,H作用于3lm的结果，磁量子数 m 不变，又因为： 11,1122 2cos(1)(21)(23)lmlmlmlmlmlmYa YaYlmall,H作用于3lm的结果，量子数l将改变1。因此，在这 9 个简并态之间，在一级微扰作用下能够发生耦合的状态有下列各组： (300)(310)(320);(311)(321);(31 1)(32 1) 由于 1000201021112 11 112|cos|,|cos|315 11|cos|,|cos|5
8、5YYYYYYYY如令：33 31303231002212,315(A3 6 ,3 3,)2R R r drAR R r drBAa Baame 其中，为第一波尔半径。， 所以： , 310,300320,310, 321,31132 1,31 1,33,22He A He BHe B He B由于是对称矩阵，故久期方程为： (1) 3(1) 3(1) 3(1) 3(1) 3(1) 3(1) 3(1) 3(1) 30000000300000002 000000300000002 000000000300000002 0000000300000002 00000000Ee AEe Be AEe
9、BEe BEe BEe BEe BEE 将上面的行列式化为三个小的行列式相乘： (1)(1)(1)333 (1)2(1) 33 (1)(1)(1) 333330 22()0 33022Ee AEe BEe B Ee AEe B e BEe BEe BE 所以： (1)(1)(1)22 33330(),2EEe BEeAB三重根（两个根均为二重根）,，即有九个根。 （1） 当(1) 30E时， (0) 130032022320300(0) 2322(0) 332 21()1( 63),3 ,BA AB （2） 当(1) 339 22Ee Be a 时， (0) 4311321(0) 531 132 11(),2 1()2当(1) 339 22Ee Be a-时， (0) 6311321(0) 731 132 11(),2 1()2（3） 当(1)22 39EeABe a时， (0)22 8300310320223003103201() 2()1(633)3 2AABB AB 当(1)22 39EeABe -时， (0)22 9300310320223003103201() 2()1(633)3 2AABB AB
