导函数与原函数

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1、导函数与原函数的性质The properties of the primitive function and the derivative function 专 业: 数学与应用数学作 者:江亮指导老师: 涂建斌湖南理工学院数学学院二一一年五月 岳阳湖南理工学院 本科毕业论文摘 要本文归纳总结了导函数和原函数的一些性质，并探讨了导函数和原函数的性质应用以以及原函数与函数可积的关系关键词: 导函数；原函数；连续函数；不定积分；AbstractThe paper summarizes some properties of the primitive function and the derivat

2、ive function and discusses their application and the relationship between primitive function and integrable functionKeywords: derivative function; primitive function; continuous function II 目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11导函数的性质1 1.1导函数的性质及其证明11.2导函数性质的应用52 原函数的性质82.1 原函数的性质及其证明8 2.2原函数与不定积分的关系13参考文献150 引言法国

3、数学家费马（Fermat, 16011665）在研究极值问题时, 首先提出了近似于现在的导数概念, 随后, 英国数学家(Newton, 16421727)和德国数学家(Leibniz, 16461716), 在费马等人的基础上, 建立了类似于现代的导函数与原函数的概念. 即若函数在区间可导, 则对任意的都存在唯一一个导数, 称为在区间的导函数.设函数在区间有意义, 存在函数, 若对任意的, 有 , 则称函数是在区间的原函数.导函数与原函数是微积分学中两个重要的基本概念, 一直受到数学工作者得关注. 近年来, 仍有许多学者发表关于导函数与原函数的性质的研究成果, 如文献2, 3, 4.本文将散见

4、与一些文献中的有关导函数与原函数的性质进行归纳总结, 并讨论这些性质的若干应用. 文章最后还讨论了原函数与函数可积的关系.本文没有特别申明的符号和定理均与文献1相同. 1 导函数的性质定理 设在上可导, 且, 为介于, 之间任一实数, 则至少存在一点, 使得.证明 不妨设.作辅助函数, 有, 由题设易知， , .由极限的保号性知,存在, 当时, 有，从而. 同理可得知.又在上可导, 故连续. 由连续函数的最值知，存在, 使为的最小值. 由上面知, 均不是的最小值, 故的最小值位于内, 则为的极值点. 根据费马, 有, 即.对于的情况, 同理可证. 证毕定理1.1称之为导函数的介值定理, 由定理

5、不难得到如下推论.推论 设在上可导, 且, 则至少存在一点, 使得.定理（导函数极限定理） 设函数在点的某邻域内连续, 在内可导, 且极限存在, 则在点可导, 且. （1.1）证明 分别按左右导数来证明（1.1）式成立.任取, 在上满足拉格朗日定理条件, 则存在, 使得. （1.2）由于, 因此当时, 有, 对（1.2）式两边取极限, 得.同理可得.又因为 存在, 所以 , 从而 , 即.证毕由该定理还可以得到如下推论：推论 在区间上, 设是的导函数, 对任一, 极限存在, 则在区间上连续.推论的结论说明:只要导函数在某点的极限存在, 则在该点就连续. 这是一般函数不具有的. 另外, 不难发现

6、推论的逆命题也是成立的, 故它可作为判断导函数连续的充要条件.由闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、一致连续性等, 可以得到下面结论:推论 设函数是上函数的导函数, 且对任一, 极限存在, 则在上有界, 且满足一般函数的最值性、介值性、一致连续性.由推论可知在上是连续函数, 而连续函数在闭区间上具有有界性、最值性、介值性、一致连续性等性质, 故可知推论结论成立.定理 设是区间上的导函数, 则在区间上没有第一类间断点.证明 假设在区间上有第一类间断点, 则与都存在.由于是的导函数, 故有 . （1.3）由拉格朗日中值定理可知, 存在一点, 使得式（1.3）右边部分.故有 .同理可证.则 .

7、即在点连续, 这与是的第一类间断点矛盾, 故假设不成立, 命题得证. 证毕定理1.4 设在上可导, 则在上有界的充分必要条件是满足利普希兹条件, 即存在常数, 使对上任意两点, 有. 证明 先证充分性.由满足利普希兹条件, 即, 有,于是有,即.又由的任意性知, 在上有界.再证必要性.由于在上有界, 即存在正常数使得, 有.利用拉格朗日中值定理知, 对内任意两点和, 使得.即满足利普希兹条件. 证毕1.2 导函数性质的应用下面通过一些例题来讨论导函数性质的一些应用.例1 设函数在区间上的导函数（）的充要条件是在区间上递增（减）.证明 先证充分性.若为增函数, 则对任一, 当时, 有.令即得.再

8、证必要性.若在区间上恒有, 则对（设）,应用拉格朗日定理知, 存在, 使得,由此证得在上为增函数.例2 设函数在区间上二次可微且有界, 证明存在一点,使得.证明 先用反证法来证明在区间上一定变号.假设在区间上不变号.不妨设在区间恒有（情况, 类似可证）,则严格增. 取使,若, 则当, 并令时, 在上, 由拉格朗日中值定理知；若, 则当, 并令时, 同理有.这与在区间上有界性矛盾. 故可知假设不成立, 在区间上一定变号.设点, 且, , 又在上可导, 由推论可知, 至少存在一点, 使得.命题得证.例3 设函数在连续, , 则至少存在一点, 使.证明 因为在连续, 所以由推论逆命题知, 必是上某函

9、数的导函数.不妨假设,因为 ,所以, 由保号性知, 存在, 使得,而在或上连续, 是与之间的一个数, 从而为或上某函数的导函数.由定理知, 在与之间至少存在一点, 使.因而至少存在一点, 使.例4 求分段函数的导数.解 首先易得由于,因此在处连续, 又因, , 所以 .由定理知在处可导, 且.例5 设在区间上可导且有界, 则在上一致连续.证明 由于在区间上可导且有界, 由定理可知, 在区间上满足利普希兹条件, 即存在常数, 使对上任意两点, 有.于是对, , , 当时, 有,故由一致连续的可知在上一致连续.2 原函数的性质 2.1原函数的性质及其证明定理 设是在区间上的一个原函数, 则(1)

10、也是在区间上的原函数, 其中为任意常数；(2) 在上的任意两个原函数之间, 只相差一个常数.证明 (1)因为, , 故可知是在区间上的原函数.(2)由拉格朗日定理可知, 若函数在区间上可导, 且, 则为区间上一个常量函数. 事实上, 任取两点（设）, 在区间上应用拉格朗日定理, 存在, 使得.这就证得在区间上任意两点之值相等, 即为区间上一个常量函数.设和是在上的任意两个原函数, 则有, .由上述结论可知是区间上一个常量函数, 于是有, .命题得证.证毕注 当的定义域位于若干个分离区间时,定理就不一定成立了. 如易知是在上的一个原函数；且也是在上的一个原函数. 但并非为一个常数, 故我们要特别

11、注意, 我们所说的一个函数的原函数是对在某一区间上讲的. 定理（原函数存在定理） 若在上连续, 则积分上限函数在上处处可导, 且, .证 对上任一确定, 当 且时, 有 . 由于在点连续, 故有. 由在上的任意性, 证得是在上的一个原函数.对于不连续函数的原函数存在性判断比较复杂, 但由定理可以得到以下结论.推论 若在上有第一类间断点, 则在上不存在原函数. 证毕证明 假设在上存在原函数, 即是区间上的导函数, 由定理可知在上没有第一类间断点, 这与题意矛盾, 故假设不成立. 即在上不存在原函数, 命题得证. 证毕注 若函数存在第二类间断点, 则其原函数可能存在, 也可能不存在.如函数显然,

12、是的第二类间断点,但存原函数；又如狄利克雷函数,显然, 在内的任一点都是的第二类间断点, 但在任意闭区间上都不存在原函数.定理2.3（奇偶性） 设在上连续, 则:（1） 若为奇函数, 则其原函数是偶函数;（2） 若为偶函数, 则其原函数等于一个奇函数与一个任意常数之和.证明 连续, 故存在原函数, 定义的积分上限函数, 由定理知为的一个原函数. 则当为奇函数时, ,即为偶函数；当为偶函数时,即为奇函数.又因为的所有原函数为（为任意常数）, 故若为奇函数, 则, 即为偶函数；若为偶函数，则，其中为奇函数，即等于一个奇函数与一个任意常数之和.证毕性质2.4（周期性） 设是上的连续周期函数, 且周期

13、为, 是它在上的一个原函数, 则下列条件等价：(1) 是 上的周期函数；(2) 在上有界；(3) 对任意实数, 有.证明 设在上以为周期, 易知在上连续, 从而存在最大值与最小值, 分别记为，. 令, 则, 即有界；若存在一个正数, 使在上有, 则对任意实数及任意正整数有,从而对任意自然数成立, 故 .因 , 故(1)成立.证毕关于函数与原函数之间周期性的关系，由性质2还可以得到以下两个推论.推论 设是上的连续周期函数, 是的一个原函数, 且也是周期函数, 则与有相同的周期.证明 设周期为, 因 是周期函数, 由性质2可知；另一方面，设周期为，由可知 .综合上述可知, 与有相同的周期. 证毕推

14、论 设是上连续的周期为的函数, 是它的一个原函数, 令, 则是上一个以为周期的函数, 即可以表示为一个周期函数与一个线性函数的和.证明 令, 易知是一个以为周期的函数.因, 则有，由性质2及推论2.3可知, 是以为周期的周期函数, 结论成立. 证毕2.2 原函数与不定积分的关系对于原函数与不定积分的关系，我们能够比较清楚的认识，即“一个函数的不定积分是表示该函数所有原函数的集合”.但是谈及原函数与定积分的关系，一般地认为“原函数存在则函数就可积或认为函数可积则函数的原函数就存在”.其实这两种观点是错误的，下面通过例子进行说明.例如函数，在上存在原函数，故可知在上无界，所以在上不可积.对于存在原

15、函数且可积的函数很多，如在闭区间上的初等函数都是符合条件的.由这个例子我们可以得出如下结论.结论1 存在原函数的函数，不一定可积.定义函数，易知在上有界，其积分和，当分割的模趋于时有，所以在上是可积的.又因为在不连续，存在第一类间断点，由推论4知，在上不存在原函数. 由此得如下结论:结论2 可积的函数不一定存在原函数.致谢 本文是在涂建斌老师的指导下完成的, 在此对涂老师表示衷心的感谢!参考文献1 刘玉链，傅沛仁. 数学分析讲义(上册) M. 北京: 高等教育出版社，20021朱匀华 周健伟 胡建勋. 数学分析的思想方法M. 中山大学出版社, 1998.2 张莜蘅. 关于原函数的讨论J. 西安

16、教育学院学报，1(2007)，1-4.3 黄基廷. 导函数的若干性质J. 河池学院学报, 24:4(2004)，49-51.4 杨雪宏. 导函数的特性及其应用J. 河北能源职业技术学院学报，6:2(2004)，249-250.5 华东师范大学数学系编. 数学分析(上册) M. 北京: 高等教育出版社，2001.6 黄天富. 导函数在闭区间上的性质J. 江苏教育学院学报，23:3(2006)，89-93.7 李文荣. 一类迭代微分方程的Picard型定理J. 滨洲学院报，22:6(2006), 1-4.8 冯春. 原函数性质的讨论及应用J. 高等数学研究，7:6(2004)，11-14.9 张申媛. 关于函数可积性与原函数存在性问题J. 上海电力学院学报，12:3(2010)，1-4.10 周良金. 原函数与定积分的关系J. 高等函授学报(自然科学版), 19:5(2006), 38-40. 第14页, 共14页