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1、圆锥曲线方程 知识要点1圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上：)0( 12222 ba byax . ii. 中心在原点，焦点在y轴上：)0( 12222 ba bxay . 一般方程：)0, 0( 122BAByAx.椭圆的标准参数方程：12222 byax的参数方程为 sincos byax（一象限应是属于20 ）.顶点：), 0)(0 ,(ba或)0 ,)(, 0(ba .轴：对称轴：x 轴，y
2、轴；长轴长a2，短轴长b2.焦点：)0 ,)(0 ,(cc或), 0)(, 0(cc.焦距：22 21,2baccFF.准线：cax2 或cay2 .离心率：) 10( eace .焦点半径：i. 设),(00yxP为椭圆)0( 12222 ba byax 上的一点，21,FF为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设),(00yxP为椭圆)0( 12222 ba aybx 上的一点，21,FF为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程
3、的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abc abd 和),(2abc共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0( 12222 ba byax 的离心率是)(22bacace ，方0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPF圆锥曲线方程 知识要点2程tt byax(2222 是大于 0 的参数，)0 ba的离心率也是ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若 P 是椭圆：12222 byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b （用余弦定理与aPFPF221可得）. 若是
4、双曲线，则面积为2cot2b .二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF双曲线标准方程：)0,( 1),0,( 122222222 ba bxayba byax . 一般方程：)0( 122ACCyAx.i. 焦点在 x 轴上： 顶点：)0 ,(),0 ,(aa焦点：)0 ,(),0 ,(cc准线方程cax2 渐近线方程：0by ax或02222 byaxii. 焦点在y轴上：顶点：), 0(), 0(aa. 焦点：), 0(), 0(cc. 准线方程：cay2 . 渐近
5、线方程：0bx ay或02222 bxay，参数方程： tansec byax或 sectan aybx.轴yx,为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. 离心率ace . 准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22. 参数关系acebac,222 . 焦点半径公式：对于双曲线方程12222 byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半asinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆 yxMMF1F2 yxMM
6、F1F2圆锥曲线方程 知识要点3径要带符号计算，而双曲线不带符号）aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222by ax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222 byax.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222 byax的渐近线方程为02222 byax如果双曲线的渐近线为0by ax时，它的双曲线方程可设为)0(2222 byax.例如：若双曲线一条渐近线为xy21 且过)21, 3(
7、 p ，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422 yx，代入)21, 3( 得12822 yx.直线与双曲线的位置关系： 区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条； 区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条； 区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求
8、确定直线的斜率可用代入”“法与渐 近线求交和两根之和与两根之积同号.若 P 在双曲线12222 byax，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准线的距离比为 mn. yxF1F21234533圆锥曲线方程 知识要点4简证：ePFePFdd2121= nm. 常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.三、抛物线方程.3. 设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy22pxy22pyx22pyx22图形yx OyxOyx Oyx O焦点)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF准线 2px2px 2py2py 范围Ryx
9、, 0Ryx , 00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点 （0，0）离心率1e焦点 12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：xcbyay2 顶点)244(2ab abac.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF ;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF .通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22 （或pyx22 ）的参数方程为 ptyptx 222（或222ptyptx）（t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义. 4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当10 e时，轨迹为椭圆； 当1e时，轨迹为抛物线； 当1e时，轨迹为双
10、曲线；圆锥曲线方程 知识要点5当0e时，轨迹为圆（ace ，当bac , 0时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是 关于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F2 的距 离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨 迹1到两定点 F1,F2 的 距离之差的绝对值为定 值 2a(01）与定点和直线的距离相等 的点的轨迹.图形标准 方程12222 by ax(ba 0)12222 by ax(a0,b0)y2=2
11、px方程参数 方程 为离心角）参数(sincos byax为离心角）参数(tansec byax ptyptx 222(t 为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)0 ,2(pF焦距 2c （c=22ba ）2c （c=22ba ）离心率) 10(eace) 1( eacee=1准线x=ca2 x=ca2 2px圆锥曲线方程 知识要点6渐近线y=abx焦半径exar)(aexr2pxr通径ab22 ab222p焦参数ca2 ca2P
