圆与方程的数学思想

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1、1圆与方程中的数学思想圆与方程中的数学思想 广东省陆丰市启恩中学(516500)林敏燕 圆与方程是高中数学解析几何的一个基础内容，在历年的高考中占有一席之地。本文 就圆与方程中的数学思想在解题中的运用展开讨论，供同学们参考。 1 1函数与方程思想函数与方程思想 函数与方程思想在圆与方程中应用最广泛,求圆的方程，求直线与圆的交点，求圆与圆 的交点等等都要运用到函数与方程的数学思想.例例 1 1 设圆满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线 1：x2y=0 的距离最小的圆的方程分析：本题给出了二个条件，我们需要把二个条件转化为代

2、数式，然后联立方程。解:设圆的圆心坐标为 P（a，b），半径为 r，则点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|，|a|由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧的圆心角为 90，于是圆 P 截 x 轴所得的弦长为r2，故222br又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2，所以有122 ar从而得1222 ab点 P（a，b）到直线 x2y=0 的距离为5|2|bad 所以，abbabad44|2|5222212)(24222222abbaba，当且仅当 a=b 时上式取等号，此时152d，从而 d 取得最小值由此有1222abba解此方程组得 11 ba或 11ba由222br知22r，故所求圆的方程

3、是2) 1() 1(22yx，或2) 1() 1(22yx 点评:本题是一道较为复杂的综合题,既要用到函数的最值求法,又要解方程组.一般情况下同学们对于复杂的方程组缺乏信心,因些解方程组时一定要先找好突破口,以免花费太多时间.2 2对称思想对称思想 圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称的数学思想在圆中有着淋漓尽致的体现.解 对称问题要把握对称的实质,结合几何图形来解题.例 2 已知，点是圆上的动点，点是圆( , )P t ttRM221(1)4xyN2上的动点，则的最大值是（ ）221(2)4xy|PNPMABCD51512分析：如果把 M，N 看成圆上的动点，设出坐标，则本题变得特别复杂

4、。所以，我们要考虑圆的对称性，把点到圆上的点的距离转化为点到圆心的距离来求解，减少未知量解:由几何知识可知（三角形的性质）,|PN|,|PM|要取到最值,必过圆心.不妨设两圆的圆心分别为 A,B,因此,原题转化为在直线上找一个点 P,使最大.由例 1 可yx|PAPB知,只需作点 B 关于直线的对称点 B,显然 B的坐标是(1,0),从而原点即为要求的yx 点.故的最大值为,选 D|PNPM51222点评：善于利用圆的对称性，是本题解题的关键所在。 3 3数形结合思想数形结合思想 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和 形象思维结合，通过对图形的认识，数形结

5、合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性， 使问题化难为易，化抽象为具体.例 3 已知，若),(bxyyxM9),(2xyyxN，求的取值范围.MN有两个元素b分析：集合 M 是一条直线的点的集合，集合 N 是一个半圆上的点的集合，故可以从图 像上考虑直线与圆的交点问题。解：集合是斜率为 1，在轴上的截距为的一束平行线，集合是以原点为圆MybN 心，半径为 3 的圆在轴上方的部分（包括与轴的交点）.由题意作出图形，如图，当直xx线过时，.bxy(0,3)3b 当直线与半圆相切时，由点到直线的距离公式得.32|b，由图形易知，故，23b0b23b.3b23点评：在涉及到半圆或圆的一部分的题目时，如

6、果解方程是相当困难的，而应用数形 结合来解则比较简单. 4 4化归思想化归思想 所谓转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变 换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.例 4 求圆上的点到的最近、最远距离.4)3()2(22yx02 yx分析：直接设圆上的点的坐标来求解，可以转化为三角函数的问题。但如果换一个角xyOMA233度，从几何图形的性质上来看，只需求出圆心到直线的距离即可轻松获解。解：由圆的方程易知圆心坐标为，半径.而4)3()2(22yx)3, 2( 2r到直线之距为.)3, 2( 02 yx2272|232|故圆上的点到直线的最远距离为，最近距离为.22272227点评：凡是涉及与圆有关的距离最值问题，常常转化为圆心的距离最值问题.综上所述，数学思想在圆与方程的解题中有着重要的体现，灵活地利用数学思想，能速度提高同学们的解题能力。