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1、3.1.3导数的几何意义先来复习导数的概念定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量 y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限 存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化 率)记作 即:瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.是函数f(x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化 率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函 数随自变量变化而变化的快慢程度 如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x) 在点x0处可导,如果极
2、限不存在,就说函数 f(x)在点x0处 不可导.由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.下面来看导数的几何意义: y=f(x )PQMxyOxyPy=f(x )QMxyOxy如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.斜 率!PQoxyy=f(x)割 线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线
3、PQ绕着点 P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率 的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0 处的导数.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.练习:如图已知
4、曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y- 16=0.在不致发生混淆时，导函数也简称导数什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时 ,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的 一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:如何求函数y=f(x)的导数?看一个例子:下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了解认识这一概念的实质，学
5、会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤： （1）求函数的增 量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。（3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即d.求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的基 本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。作业:lP87 A组 4,5,6.(其中6题作在书上)l第二教材 P72 4,5,6
