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1、材材 料料 力力 学学* *第九章压 杆 稳 定1第九章第九章 压杆稳定压杆稳定本章内容: 1 压杆稳定的概念 2 两端铰支细长压杆的临界压力 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力4 欧拉公式的适用范围 经验公式 5 压杆的稳定校核 6 提高压杆稳定性的措施 7 纵横弯曲的概念29. 1 压杆稳定的概念l 前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。l 稳定性问题的例子平衡形式突然改变丧失稳定性失稳3平衡形式突然改变丧失稳定性失稳l 构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。u 1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。u
2、 脚手架倒塌l 平衡的稳 定性4l 平衡的稳定性u 稳定平衡u 不稳定平衡u 随遇平衡n 压杆的平衡 稳定性当 P Pcr 当 P Pcr 5n 压杆的平衡 稳定性l 临界压力 Pcru 当 P Pcr时， 压杆的直线平衡状态是稳定的。 u 当 P Pcr时， 直线平衡状态转变为不稳定的， 受干扰后成为微弯平衡状态。使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力， 也是在微弯平衡状态下的最小压力。当 P Pcr 当 P Pcr 69. 2 两端铰支细长压杆的临界压力l 两端铰支杆受压 力P作用l 考察微弯平衡状态l x处截面的弯矩l 挠曲线近似微分I 为截面最小的惯性矩方程7引入记号通解为其中，A、B
3、为积分常数，由边界条件确定。边界条件为:时，时，将代入通解将代入通解8边界条件为:时，时，将代入通解将代入通解因所以应有代入因为临界压力是微弯平衡状态下的最小压力，所以，应取 n = 1 。9代入因为临界压力是微弯平衡状态下的最 小压力，所以，应取 n = 1 。这就是两端铰支细长压杆的临界压力公式。 欧拉公式u 当取 n = 1 时，由则，挠曲线方程为10u 当取 n = 1 时，由则，挠曲线方程为其中，A为杆中点的挠度。 A的数值不确定。l 欧拉公式与精确解曲线u 精确解曲线u 理想受压直杆u非理想受压直杆时，119. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力1 一端固支一端自由的压杆2 一端
4、固支一端滑动固支 （简称为两端固支）由两端铰支压杆的临界 压力公式122 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支） 拐点处弯矩为零。拐点3 一端固支一端铰支由两端铰支压杆的临界 压力公式133 一端固支一端铰支4 欧拉公式的普遍形式 l 相当长度； 长度系数。拐点由两端铰支压杆的临界 压力公式14表14.1 压杆的长度系数 4 欧拉公式的普遍形式 l 相当长度； 长度系数。15例 1(书例 14.2 ) 已知: 两端固支压杆，E,I，l。 求：临界压力。 解：lxl 考察微弯平衡状态l x 处截面的弯矩l 挠曲线近似微分方程l 两端的水平约束力为零vyxPPmmPM16l 挠曲线近似微分方程x
5、vyxPPmm引入记号通解为其中，A、B为积分常数，由边界条件确定。17xvyxPPmm通解为其中，A、B为积分常数，由边界条 件确定。边界条件为: 时，时，将边界条件代入通解又代入18通解为边界条件为: 时， 时，将边界条件代入通解又代入代入代入通解19最小非零解为代入20材材 料料 力力 学学* *第九章压 杆 稳 定219. 4 欧拉公式的适用范围 经验公式 1 临界应力l 临界压力l 临界应力将惯性矩写为i 惯性半径22将惯性矩写为i 惯性半径l 柔度 (长细比)柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。 23l 柔度 (
6、长细比)柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。则临界应力为 欧拉公式2 欧拉公式的适用范围导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程要求材料满足胡克定律242 欧拉公式的适用范围导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程要求材料满足胡克定律即：记：则欧拉公式成立的条件为：可以看出：1 只与材料的性质有关。25记：则欧拉公式成立的条件为：可以看出：1 只与材料的性质有关。u 对A3钢：E = 206 GPa，p = 200 Mpa 3 直线经验公式 对于 cr p 的情况，欧拉公式不成立。 工程上使用经验公式。l 直线经验公式263 直线经验公
7、式 对于 cr p 的情况，欧拉公式不成立。 工程上使用经验公式。l 直线经验公式式中, a, b是与材料有关的常数(表14.2, p162)。800.19028.7松木701.454332.2铸铁952.568461优质碳钢s=306MPa1021.12304A3钢 s=235MPa1b(MPa)a(MPa)材料27l 直线经验公式式中，a, b 是与材料性质有关的常数。l 直线经验公式的适用范围用直线经验公式时，应有记：则直线经验公式的适用范围为：l 当 2 时，就发生强度失效，而不是失稳。28记：则直线经验公式的适用范围为：l 当 2 时，就发生强度失效，而不是失稳。所以应有:不同柔度的
8、压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类 (1) 大柔度杆(细长杆) 1 的压杆 (2) 中柔度杆 2 1 的压杆4 压杆分类294 压杆分类不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类 (1) 大柔度杆(细长杆) 1 的压杆 (2) 中柔度杆 2 1 的压杆 (3) 小柔度杆(短粗杆) 2 的压杆5 临界应力总图305 临界应力总图大柔度杆小柔度杆中柔度杆31l 临界应力计算的小结u 对 1 的大柔度压 杆，临界应力公式为u 1 2 的中柔度压杆，临界应力公式为u 2 的小柔度压杆，临界应力公式为32u 1 2 的中柔度压杆，临界应力公式为u 2
9、 的小柔度压杆，临界应力公式为6 抛物线经验公式抛物线经验公式为式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。l 说明若压杆的局部有截面被削弱的情况，则：336 抛物线经验公式抛物线经验公式为式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。l 说明若压杆的局部有截面被削弱的情况，则：u 进行稳定性计算时，可忽略若压杆的局部削 弱，仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界 应力；u 进行强度计算时，应按削弱后的面积计算。34压杆柔度的四种取值情况临界柔度比例极限屈服极限临界应力(大柔度杆)欧拉公式(中柔度杆)直线公式(小柔度杆 )强度问题359. 5 压杆的稳定校核l 工作安全系数l 稳定安全系数l 稳
10、定校核 满足稳定性要求时，应有:l 稳定安全系数与强度安全系数的取值u强度安全系数取值 1.2 2.5，有时可达 3.5；u稳定安全系数取值 2 5，有时可达 8 10。36l 压杆稳定问题的解题步骤 1 稳定校核问题 1) 计算 1 ， 2， ； 2) 确定属于哪一种杆(大柔度，中柔度， 小柔度) ； 3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ; 4) 计算杆所受到的实际压力 P； 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。l 稳定安全系数与强度安全系数的取值u强度安全系数取值 1.2 2.5，有时可达 3.5；u稳定安全系数取值 2 5，有时可达 8 10。371 稳定校核问题
11、1) 计算 1 ， 2， ； 2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆，中柔度杆， 小柔度杆) ； 3) 根据杆的类型求出 cr 和 Pcr ; 4) 计算杆所受到的实际压力 P； 5) 校核 n = Pcr /P nst 是否成立。2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。382 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题； 4) P Pcr / nst 。3 截面设计问题 1) 计算实际压力 P ； 2) 求出 Pcr： Pcr = nst P； 3) 先假设为大柔度杆，由欧拉公式求出 I, 进一步求出直径 d (若为圆截面杆) ; 4) 计算 1 和 ； 5) 检验 1
12、是否成立。若成立，则结束; 393) 先假设为大柔度杆，由欧拉公式求出 I, 进一步求出直径 d (若为圆截面杆) ; 4) 计算 1 和 ； 5) 检验 1 是否成立。若成立，则结束;6) 若 1 不成立，则设为中柔度杆，按经 验公式求出直径 d (若为圆截面杆) ;7) 计算 2 ； 8) 检验 2 是否成立。 若成立，则结束。406) 若 1 不成立，则设为中柔度杆，按经 验公式求出直径 d (若为圆截面杆) ;7) 计算 2 ； 8) 检验 2 是否成立。 若成立，则结束。l稳定性计算的折减系数法这里， 称为稳定系数，与材料、截面形状及 柔度有关；f 为强度设计值，与材料有关。按静强度
13、设计的方法设计受压杆41例 1(书例 9.4 ) 已知: 空气压缩机的活塞杆由45钢制成，s = 350Mpa , p = 280 MPa, E=210GPa。长度l = 703mm, 直径d = 45 mm。最大压力 Pmax=41.6kN。稳定安全系数为 nst = 810。 求： 试校核其稳定性。 解： 1 求 1 2 求 u 活塞杆可简化为两端铰支杆421 求 1 2 求 u 活塞杆可简化为两端铰支杆u 惯性半径对圆轴u 柔度 431 求 1 2 求 u 柔度 因为，所以不是大柔度杆。3 求 2 采用直线经验公式。 由表14.2 查得(45钢属优质碳钢)：所以，是中柔度杆。443 求
14、2 采用直线经验公式。 所以，是中柔度杆。4 求临界应力 采用直线经验公式。 5 求临界压力 6 稳定校核 满足稳定要求。 45例 2(书例 9.5 ) 已知: 活塞直径 D= 65 mm，p= 求： 活塞杆直径d 。解：这是截面设计问题。l 临界压力的最大值为l 先假设为大柔度杆Pp p1.2MPa, l=1250mm, 45钢，p = 220MPa, E= 210GPa, nst = 6。l 活塞杆所受压力用欧拉公式计算临界压力46解：这是截面设 计问题。l 临界压力的最大值为l 先假设为大柔度杆Pp pl 活塞杆所受压力用欧拉公式计算临界压力u 活塞杆可简化为两端铰支杆取47u 活塞杆可
15、简化为两端铰支杆取u 根据求出的d计算柔度u 计算 1 因为，是大柔度杆。 以上计算正确。 48练习材料及横材料及横 截面均相截面均相 同，哪一同，哪一 根最容易根最容易 失稳，哪失稳，哪 一根最不一根最不 容易失稳容易失稳 。49稳定设计的折减系数法稳定设计的折减系数法n按静强度设计的方法设计受压杆 f fF FN N A AF FN N为压杆的轴力； 称稳定因数, 与 压杆材料、截面形状及柔度有关；f f 为强度设计值,与材料有关。 f f和 可 在有关规范中查到。5051补充题 截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。 解：圆形截面杆：正方形截面杆：由 1 = 2 得所以 5253例题 ： 两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量，杆的直径d=100mm，杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？解：用欧拉公式计
