中考综合题展示（三）存在性问题

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1、 中考综合题展示（三）中考综合题展示（三） 存在性问题存在性问题一、条件探索性问题一、条件探索性问题例例 1 如图，ABBC 于 B，DCBC 于 C （1）当 AB=4，DC=1，BC=4 时，在线段 BC 上是否存在点 P，使 APPD 若存在，求线段 BP 的长；如果不存在，请说明理由 （2）设 AB=a，DC=b，AD=c，那么当 a，b，c 之间满足什么关系时， 在直线 BC 上存在点 P，使 APPD 【分析】 （1）假设 APPD，有APBPDC，进而求出 BP （2）方法如（1） ，但相比之下，添了分类思想 【点评】本例为条件探索型，此类题的解法类似于分析法，假设结论成立，逐步

2、探索其成立的条 件二、存在探索性问题二、存在探索性问题例例 2 （2006 年浙江省）如图，平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于 A（3，0） ， B（0， ）两点，点 C 为线段 AB 上的一动点，过点 C 作 CDx 轴于点 D（1）求直线 AB 的解析式； （2）若 S梯形 OBCD=4 3 3，求点 C 的坐标；（3）在第一象限内是否存在点 P，使得以 P，O，B 为顶点的三角形与OBA 相似若存在，请求 出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【评析】本题是一道存在探索性问题的题型， （1） 、 （2）两问是常规题，容易解决 （3）问较难， 要分不同情

3、况考虑，首先画出符合题意的图形，然后结合图形进行计算或推理，若能推导出符合条件的 结论或计算出某些未知数的值，则表示存在；若推出矛盾结论或求不出未知数的值，则所求的点就不存 在【考点精练考点精练】 1如图，在平面直角坐标系中，点 A 是动点且纵坐标为 4，点 B 是线段 OA 上的一个动点过点 B 作直 线 MN 平行于 x 轴，设 MN 分别交射线 OA 与 X轴所形成的两个角的平分线于点 E、F（1）求证：EB=BF； （2）当OB OA为何值时，四边形 AEOF 是矩形？并证明你的结论；（3）是否存在点 A、B，使四边形 AEOF 为正方形若存在，求点 A 与点 B 的坐标； 若不存在，

4、请说明理由2 （2005 年辽宁省）如图，RtOAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点 O 与原点重合，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OC=3，CAO=30，将 RtOAC折叠，使 OC 边落在 AC 边上， 点 O 与点 D 重合，折痕为 CE（1）求折痕 CE 所在直线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）设点 M 为直线 CE 上的一点，过点 M 作 AC 的平行线，交 y 轴于点 N，是否存在这样的点 M，使得以 M、N、D、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点 M 的坐标；若 不存在，请说明理由4如图，AB 是O 的直径，MN

5、是O 的切线，C 为切点，AC=6cm，AB=10cm（1）试猜想ACM 与B 的大小有什么关系？并说明理由 （2）在切线 MN 上是否存在一点 D，使得以 A、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似？ 若存在，请确定点 D 的位置；若不存在，请说明理由5如图，抛物线 y=ax2+bx 过点 A（4，0） ，正方形 OABC 的边 BC与抛物线的一个交点为 D，点 D 的 横坐标为 3，点 M 在 y 轴负半轴上，直线 L 过 D、M两点且与抛物线的对称轴交于点 H，tanOMD= 1 3（1）写出 a，b 的值：a=_，b=_，并写出点 H 的坐标（_，_） （2）如果点 Q 是抛物线对称轴上

6、的一个动点，那么是否存在点 Q，使得以点 O，M，Q，H 为顶 点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由OMCBA6 （2006 年莆田市）已知：如图，抛物线经过 A（-3，0） ，B（0，4）和 C（4，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）已知 AD=AB（D 在线段 AC 上） ，有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1个单位长度的速度 移动；同时另一动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分， 求 t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ+MC 的值最

7、小？若存在，请 求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 答案答案: 例 1 （1）如果存在点 P，使 APPD，那么APD=90，APB+CPD=90， ABBC，DCBC，B=C=90，APB+BAP=90BAP=CPD，APBPDC，ABBP PCCD设 BP=x，则 PC=4-x，4 41x x，解得 x=2，在线段 BC 上存在点 P，使 APPD，此时，BP=2 （2）如果在直线 BC 上存在点 P，使 APPD，那么点 P 在以 AD 为直径的圆上，且圆的半径为1 2c，取 AD 的中点 O，过点 O 作 OEBC，垂足为 EB=OEC=C=90，ABOEDCAO=DO，BE=C

8、E，OE=1 2（AB+DC）=1 2（a+b） ，当 OE1 2c 时，即 a+bc 时，以 AD 为直径的圆与直线 BC 相离此时，在直线 BC 上不存在点 P，使 APPD 综上，当 a+bc 时，在直线 BC 上存在点 P，使 APPD例 2 （1）直线 AB 解析式为：y=-3 3x+3 （2）设点 C 坐标为（x，-3 3x+3） ，那么 OD=x，CD=-3 3x+3 S梯形OBCD=() 2OBCDOD=-3 6x2+3 由题意：-3 6x2+3=4 3 3，解得 x1=2，x2=4（舍去） ，（2，3 3） （3）当OBP=Rt时，如图： 若BOPOBA，则BOP=OBA=6

9、0，BP=3OB=3，P1（3，3） 若BPOOBA，则POB=BAO=30，BP=3 3OB=1，P2（1，3） 当OPB=Rt时 过点 O 作 OPBC 于点 P（如图） ， 此时PBOOBA，BOP=BAO=30，过点 P 作 PMOA 于点 M 在 RtPBO 中，BP=1 2OB=3 2，OP=3BP=3 2在 RtPMO 中，OPM=30， OM=1 2OP=3 4；PM=3OM=3 3 4，P3（3 4，3 3 4） 若POBOBA（如图） ，则OBP=BAO=30，POM=30， PM=3 3OM=3 4，P4（3 4，3 4） （由对称性也可得到点 P4的坐标） 当OPB=R

10、t时，点 P 在 x 轴上，不符合要求，综合得， 符合条件的点有四个，分别是： P1（3，3） ，P2（1，3） ，P3（3 4，3 3 4） ，P4（3 4，3 4） 考点精练 1 解： （1）如图，OF 是角平分线，1=2， MN 平行于 x 轴，3=1，2=3，BO=BF 同理可证 BO=BE，BE=BF （2）当OBOA=1 2时，四边形 AEOF 是矩形，OBOA=1 2， OB=AB又BE=BF，四边形 AEOF 是平行四边形， OE、OF 是角平分线，EOF=90，四边形 AEOF 是矩形 （3）如图，MN 平行于 x 轴，当 A 点在 y 轴时，即 A 点坐标为（0，4）时，有

11、 OA EF， 此时，取 OA 的中点，由（2）知四边形 AEOF 是矩形，四边形 AEOF 是正方形， 存在点 A（0，4） ，B（0，2） ，使四边形 AEOF 为正方形 2 （1）直线 CE 的解析式为 y=-3x+3 （2）D（3 2，3 2） （3） （若此点在第四象限）M1（3 2，-3 2） ， （ 若此点在第二象限）M2（-3 2，5 3 2） 4 （1）ACM=B，连结 OC，利用圆的切线性质和等腰三角形的性质可证得结论 （2）存在两个点 D1、D2，使得以 A、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似 过点 A 作 AD1MN 于 D1，过点 A 作 AD2AC 交 MN 于

12、D2 由相似三角形对应边成比例可分别求得 CD1和 CD2的长 5 （1）a=-4 3，b=163，H（2，1） （2）答：存在这样的点 Q，使得点 O、M、Q、H 为顶点的四边形为平行四边形 由题意可知，MDC 是直角三角形，CD=3，OC=4，tanOMD=13， CD CM=13， CM=9，OM=9-4=5 要使 OMQH 是平行四边形，由题意知 OMHQ，只须 OM=OQ，点 H 的坐标是 1，点 Q1（2，-4） 要使 OMHQ 是平行四边形，由题意知 OMHQ，只须 OM=HQ， 点 H 的坐标是 1，点 Q2（2，6） 6解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，

13、 根据题意得：c=4，且1 93403,164401 3aababb 即即， 所求的抛物线的解析式为 y=-13x2+1 3x+4 （2）连结 DQ在 RtAOB 中，AB=222234AOBO=5，AD=AB= 5， AC=AO+CO=3+4=7，CD=AC-AD=7-5=2BD 垂直平分 PQ，PD=QD，PQBD， PDB=QDB，AD=AB，ABD=ADB，ABD=QDB，DQAB， CQD=CBA，CDQ= CAB，CDQCAB，210,577DQCDDQDQABCA即 AP=AD-DP=AD-DQ=5-107=25 7，t=25 71=25 7（秒） ，t 的值为25 7秒 （3）

14、答：对称轴上存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小 理由：抛物线的对称轴为：x=-2b a=1 2， A（-3，0） ，C（4，0）两点关于直线 x=1 2对称 连结 AQ 交直线 x=1 2于点 M，则 MQ+MC 的值最小 过点 Q 作 QEx 轴，垂足为 E， QED=BOA=90，DQAB，BAO=QDE，DQEABO， 10 7 453QEDQDEQEDEBOABAO即:，QE=8 7，DE=6 7，OE=OD+DE=2+6 7=20 7，Q（20 7，87） ， 设直线 AQ 的解析式为 y=kx+m（k0） ，则82084177243041kkmkmm 即， 直线 AQ 的解析式为 y=11 82422,824284141 414141xx x yxy 即即即， M（1 2，28 41） ，则：在对称轴上存在点 M（1 2，28 41） ，使 MQ+MC 值最小