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1、第第2424章章 图形的全等图形的全等教材内容 本章的主要内容包括图形的全 等的概念、三角形全等的识别方法 、命题与证明、尺规作图。几部分 内容相对独立，也有相互间的内在 联系。图形的全等的概念和三角形 全等的识别方法两部分是一个整体 ，前者是给出一般性的概念，后者 是对特殊图形的深入研究 。教材内容 命题与证明部分是本套教材关于图形 部分处理方式的一个转折，在此之前图形 部分的结论，大多是通过直观感知、操作 确认得到的，自此部分以后，要用严格的 逻辑推理方式对以前的结论加以证明。尺 规作图部分主要介绍五种基本作图以及五 种基本作图的简单的应用，该部分与图形 的全等有内在的联系，作法的合理性和
2、正 确性的解释需要全等的知识。 教学目标 1了解图形全等的概念，知道根据图形全等的 概念识别图形的全等；知道全等图形的对应角 、对应边相等，会利用图形的全等解决简单的 问题。2掌握三角形全等的识别方法（若两个三角形 的三边分别相等，则两个三角形全等；若两个 三角形的两边及其夹角分别相等，则两个三角 形全等；若两个三角形的两角及其夹边分别相 等，则两个三角形全等。）的探索过程，会用 方法识别三角形全等。 教学目标 3掌握直角三角形全等的识别方法（如果两 个直角三角形的斜边及其一条直角边分别对应 相等，那么这两个直角三角形全等。）的探索 过程，会用方法识别直角三角形全等。4了解命题、定义、定理、公
3、理的含义，会区 分命题的（条件）题设和结论。5理解证明的必要性，初步掌握综合法证明的 书写格式，体会证明的过程要步步有据。教学目标 6会作下列基本作图：作一条线段等于已知线 段，作一个角等于已知角，作角的平分线、作线 段的垂直平分线、作一条线的垂线。7会利用基本作图作三角形：已知三边作三角 形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其 夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三 角形。8了解尺规作图的步骤，对尺规作图题，会写 出画法（不要求证明）。教材特点 1本章三角形全等的几种识别方法的得到，不 同于传统教材按严格的逻辑推理得出的处理方式 ，而是通过学生直观感知，操作确认的方式。这 样的处理方
4、式使学生容易接受结论。2本章中三角形的全等被看作三角形相似的特 殊情况，这样，把前后知识联系起来，使学生产 生类比，利于三角形全等方法的学习。 教材特点 3命题与证明一节中，通过三个事例说明证明 的必要性，使学生认识到直观感知、操作确认获 得结论的方法的局限性，和利用逻辑推理进行证 明的必要性，为进一步学好逻辑推理打下基础。4本章中对尺规作图作了系统的总结，对尺规 作图有较全面的认识。 课时安排 本章教学大约需16课时，建议分配如下：24.1 图形的全等-1课时24.2 全等三角形的识别-6课时24.3 命题与证明-4课时24.4 尺规作图-3课时复 习-2课时课题学习-2课时 教学建议 各节
5、内容分析与教学建议具体操作1.课堂教学流程的基本模式 2.教材使用3.教学案例24.1.图形的全等 本节主要是对全等图形、全等多边形、全 等三角形的认识，使学生知道能够完全重合的 图形是全等图形，而全等多边形的对应边、对 应角分别相等。在教学中要注意以下几点： 1日常生活中，学生接触图形全等的例子 很多，如数学课本的封面、光盘的表面、名片 等等，教学中要充分让学生举生活中的例子， 并试着用一个名词概括这些例子，由此体验数 学概念由具体现象抽象出来的过程，体验数学 术语表达的精练、简洁。 24.1.图形的全等2图形的全等是图形相似的特例，教学 中要注意把相似多边形和全等多边形概念和特 征的类比，
6、区分之间的异同。相似多边形是形 状相同但大小不一定相同，全等多边形不仅形 状相同而且大小相同，当相似多边形的相似比 为1时，相似多边形就变为全等多边形。相似 多边形的对应边成比例，对应角相等；全等多 边形的对应边相等、对应角相等。 24.1.图形的全等3教学中要让学生理解图形的翻折、 旋转、平移变换只改变了图形的位置， 图形的大小和形状都没有改变，变换前 后的两个图形是全等的。4教材练习2要求学生画全等的四边 形，教学时可让学生说出两个图形的变 换过程。教学时要充分利用网格纸让学 生画多个全等的多边形。 24.2 全等三角形的识别 本节的主要内容有三角形全等的三个 识别方法和直角三角形全等的识
7、别方法 ，识别方法的得出不同于传统教材的处 理，教学时要根据教材的要求，让学生 通过直观感知、操作确认的方式体验数 学结论的发现过程。具体建议如下： 24.2 全等三角形的识别1教学中注意把三角形全等的识别方法 和三角形相似的识别方法相对照。三边对应成 比例，三角形相似；三边对应相等，则三角形 全等。两边对应成比例且夹角相等，则三角形 相似；两边对应相等且夹角也相等，三角形全 等。两角对应相等，三角形相似；两角对应相 等，且夹边对应相等，三角形全等。这样做的 好处一是把全等看成相似的特例，使学生把知 识前后连贯起来，形成知识系统，便于掌握； 二是让学生逐步学会类比地思考问题，学会思 考问题的方
8、法。 24.2 全等三角形的识别2根据三角形全等的概念，要判定两个 三角形是否全等，要检验两个三角形的对应边 和对应角是否分别相等，这样检验起来比较复 杂，能否有简便的方法？这是我们解决问题时 常用的思维方式，化繁为简，化难为易。教学 时要让学生体验这种方法。本节中先从满足一 对量相等（边或角）入手，看是否全等，再从 满足两对量相等，看是否全等，这样，就逐步 获得问题的答案。 24.2 全等三角形的识别3在探索比较简便的识别三角形全等方 法的时候，还利用一个非常重要的数学思想， 那就是分类思想。在讨论问题时，我们常常用 分类的方法。分类要有标准，标准不同，分出 的结果也不同。在分类讨论时，要注
9、意标准的 一致性，做到讨论的对象不重、不漏。教学时 让学生体验这种思想方法。如教材中思考题： 如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对 应相等，有几种情况。尽量让学生独自解决。 24.2 全等三角形的识别4教材中处理几种识别方法时采用分类 讨论，由简到繁，一步步得出。可能在相似三 角形学习时，有的老师已采用这种方法得出相 似三角形的识别方法，在这里若再来一遍，可 能对部分同学缺少吸引力。建议教学时也可运 用类比的思想，直接和相似三角形的识别方法 相类比，逐一考察相似三角形的识别方法，看 是否能作为三角形全等的识别方法。当然，考 察的方法仍然是直观感知、操作验证。 24.2 全等三角形的识别5已
10、知三边画三角形，书中的做一做给出 了三边的具体长度，便于学生的统一操作和比 较。课堂教学中，可以让学生自己选择三边长 度，可能有的学生选出的长度画不出三角形， 可以引发学生进一步的思考。 6教材中几种识别方法都是采用直观感知 、操作确认的方式得到。按传统的数学思想观 念，这种方式是不严谨的，甚至可能有误。但 这确实是数学发现的一种重要方法。教学中让 学生体验这种由特殊事例推出一般结论的方法 。但也要告诉学生这种方法得出的结论并不一 定是正确的，在以后我们会学习到。 24.2 全等三角形的识别7课后的练习、习题是巩固识别方法的， 要利用已得出的结论加以说明，不能再让学生 再通过直观感知、操作确认
11、的方法，要让学生 进行简单的说理。8“如果两个三角形有两个角及其其中 一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角 形全等”的结论没有作为黑体字出现，这是课 程标准的要求。教学时可让学生通过简单的说 理推出结论，并加以使用。 24.2 全等三角形的识别9.教材中关于直角三角形全等的识别方法结 论的得出，采取的是直观感知、操作确认的方 式。也可直接利用勾股定理得出另一条直角边 也相等，从而两个直角三角形的三条边分别对 应相等，利用SSS可知两个直角三角形全等。 这种简单说理的推理思想在教学中要不断地渗 透。 10直角三角形是特殊的三角形，因此， 一般三角形全等的识别方法都适用于直角三角 形。解决问题
12、时，可根据具体条件选用。 24.3 命题与证明 本节内容为进一步学习逻辑证明作数学术 语的准备，并进行了简单的证明。具体的教学 中提出如下建议： 1定义是一个科学术语，我们要深刻地认 识某一个事物或对象，必须要能给出描述它特 征的定义。定义反映了事物或对象的根本特征 。教学中要让学生体验定义的含义与作用，试 着让学生给一些数学概念下定义。 2命题教学的重点是让学生分清命题的条 件和结论，通过大量的例子让学生逐步熟悉命 题的表达方式。 24.3 命题与证明3推理要有前提，数学推理的前提建立在 公理之上。按课程标准的要求，本教材把四条 基本事实作为公理，是以后证明推理的依据， 另外，等式、不等式的
13、有关性质以及等量代换 都作为我们今后推理的依据。 4证明某件事情或结论，可以有多种方 法，找权威人事验证、查资料、自己设计实验 验证等等。本节中的证明是指的逻辑证明。关 于逻辑证明的必要性，教材中举了三个例子， 教学中还可举出一些例子。 24.3 命题与证明5证明举例的内容是把以前通过直观 感知、操作确认的结论，利用我们承认 的基本事实进行证明。本节涉及的主要 是有关平行线的结论，其他内容将在第6 册加以说明。6学生证明的书写格式可按教材的 例题书写。要求每步都要在后面括号里 注明依据。 24.4 尺规作图 本节主要内容是介绍五种基本作图，作一 条线段等于已知线段，作一个角等于已知角， 作线段
14、的垂直平分线，作直线的垂线，作角的 平分线。具体教学建议如下： 1教学时要求学生作图要规范，凡作图题 目要保留作图痕迹。2要注意区分对不同学生的要求，一般 的学生只要求学生会作就可以了，而程度好的 学生要能说明这样作图的理由。 课堂教学流程的基本模式 问题情境 自主探究 回顾反思 应用拓展 情境创设 这是引发学生主动学习的启动环节。其作用：激活学生的问题意识，形成基于问题的 学习任务，从而展开提出问题、分析问题、解 决问题的学习活动；使问题和原有认知结构中的经验发生联 系，激活现有的经验去同化或顺应学习活动中 的新知识，赋于新知识以个体意义，导致认知 结构的改组或重建。 【情境问题1】某温室有
15、一块三角形玻璃损坏后， 只剩下如图所示的部分，你对图中哪些数据度量后 ，就可到建材门市部裁剪符合规格的三角形玻璃， 并说明其中的道理.说明：在该问题中，能度量的只有三个元素，B 、C, BC的长度，于是猜想：两个三角形如果有 两角和两角的夹边对应相等，这两个三角形是否全 等？再进一步引导学生用作图的方法探究。 【情境问题2】小明想用木条做成长方形的方框，规 格如图所示，长为a，宽为b，但现有木条的长都比a 、b要大，如果所给工具为圆规和直尺（没有刻度） ，你能为他想想办法怎样取料吗？ 【情境问题3】要从如图所示的废钢板上取一个角作 配料用，使它等于，所给工具为圆规和直尺（没 有刻度），你该怎么
16、办？ 自主探究 用具体的问题引导学生进行自主探究，让 学生经历数学知识的形成过程，要能够体现出 学生的思维过程，有助于学生把知识内化形成 学科技能。解决是什么和为什么两个问题。关于自主探究的过程，在后面的具体操作 部分将有一个具体课例展示给大家，这里举几 个例子说明如何设计问题，才能有助于学生进 行自主探究。 【例1】如图，已知：等腰直角三角形ABC的底边为 AB，直线l过直角顶点C，过A、B两点分别作l的垂 线AE、BF,E、F分别为垂足.如图1，当直线l不与底边相交时，探索EF与 AE、BF的数量关系；如图2，将直线l绕C点旋转并交底边AB于D， 再过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F分别为 垂足. 探索EF与AE、
