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1、1弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为应变能。应变能。一、能量方法一、能量方法三、应变能三、应变能二、外力功二、外力功固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而做功。外力因此而做功。利用能量原理来求解构件的位移、变形和内力等的方法。利用能量原理来求解构件的位移、变形和内力等的方法。第十三章 能量方法2外力由零开始缓慢地增加到最终值，变形中的每一瞬外力由零开始缓慢地增加到最终值，变形中的每一瞬间固体都处于平衡状态，动能和其他能量的变化皆可不间固体都处于平衡状态，
2、动能和其他能量的变化皆可不计，则固体的应变能在数值上等于外力所作的功。计，则固体的应变能在数值上等于外力所作的功。四、功能原理四、功能原理外力功的统一表达式F：广义力， ：广义变形31、轴向拉伸或压缩(线弹性范围内）当沿杆件轴线的轴力FN为变量时，长为dx微段内的应变能为13-2 杆件应变能的计算整个杆件的应变能为l lF FF Fl l42 2、扭转扭转(线弹性范围内）l l MMe eMMe e MMe e当扭矩T沿杆件轴线为变量时，应变能为53、弯曲(线弹性范围内）MM MM MM当弯矩M沿杆件轴线为变量时，应变能为64 4、组合变形的应变能组合变形的应变能截面上存在几种内力，各个内力及
3、相应的各个位移相互截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做 功功. .或7五、应变能的应用五、应变能的应用1 1、计算应变能、计算应变能2 2、利用功能原理计算变形、利用功能原理计算变形8例例1 1 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端端B B的挠度的挠度. .ABFlx解：解：弯矩方程弯矩方程由V=W 得9例2 计算图示杆件的变形能。 1013-6 虚功原理杆件在外力Fi（F1,F2,Fn）（广义力）作用下作用 点会有（真实的）
4、位移。如果再有另外的外力（如温度变化，人为假想施加 等）施加在杆件上，则沿着原有力系各力作用线方向将 会有新的位移，可称为虚位移 。由于此时原有外力Fi大小不再变化，则Fi在虚位移上 做的功（虚功）为11从变形角度考虑。考虑一个微段，一般情况下，在 原力系作用下存在内力相应的，把虚变形分解为则微段上内力的虚功为积分有总虚功两式应相等，即为虚功方程（虚功原理）。由于虚加作用力，杆件此时会有虚变形12一、单位载荷法一、单位载荷法求任意点求任意点A A的位移的位移13-7 单位载荷法 莫尔积分通过建立单位力系统，以真实的位移（欲求）作为 单位力系统的虚位移。应用虚位移原理，可以得到杆件 在弹性变形内
5、任意点沿任意方向的位移。F1F2A13取同样的梁，只在A点沿所求位移方向作用单位力考虑(b)梁，将单位力看作真实载荷，将(a)中位移作为虚位移，则：建立单位力系统（a）F1F2AA（b）真实力虚位移 真实内力 虚变形单位力 真实位移单位力内力 真实变形这里Fs略去，FN和T不存在14（a）F1F2AA（b）如果求的是A截面的转角 单位力 真实位移单位力内力 真实变形则在A处应该施加单位力偶15（a）F1F2AA（b）在线弹性范围内单位力 真实位移单位力内力 真实变形式中所以16二、莫尔积分的普遍形式一般地，如果杆件内力有多个，则轴力和扭矩一般是常量，则单位载荷法 莫尔积分原有载荷作用下杆件内力
6、单位载荷作用下杆件内力17如果有多个杆件，则或使用莫尔定理的注意事项使用莫尔定理的注意事项1. 1.所加广义单位力必须与所求广义位移对应所加广义单位力必须与所求广义位移对应2. 2.莫尔积分必须遍及整个结构莫尔积分必须遍及整个结构18例例3 3 抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI的等截面简支梁受均布荷载作用，的等截面简支梁受均布荷载作用， 用单位载荷法求梁中点的挠度用单位载荷法求梁中点的挠度 c c 和支座和支座A A截面的转角截面的转角. . 剪力对弯曲的影响不计剪力对弯曲的影响不计. .解：解：在实际载荷作用下，任一在实际载荷作用下，任一 x x 截面的弯矩为截面的弯矩为ql/2AqCll/2q
7、l/219求求C C截面挠度，在截面挠度，在C C点加一向点加一向 下的单位力下的单位力任一任一 x x 截面的弯矩为截面的弯矩为AB11/21/2Cx单位载荷法ql/2AqCll/2ql/220AB11/l1/lx求求A A截面的转角截面的转角，在，在 A A 截截 面加一单位力偶面加一单位力偶引起的引起的 x x 截面的弯矩为截面的弯矩为（顺时针）（顺时针）ql/2AqCll/2ql/2单位载荷法21例例4 4 刚架的自由端刚架的自由端A A作用集中力作用集中力F F。刚架各段的抗弯刚。刚架各段的抗弯刚 度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的影响。计算度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的
8、影响。计算A A 点的垂直位移及点的垂直位移及B B截面的转角。截面的转角。aABCF lEI1EI222解：计算解：计算A A点的垂直位移，在点的垂直位移，在A A点加垂直点加垂直 向下的单位力向下的单位力ABAB: :BCBC: :aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa（自己假定正方向）23计算计算B B截面的转角，在截面的转角，在B B上加一个单上加一个单 位力偶矩位力偶矩ABAB: :BCBC: :ABCF lEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa 1（顺）24例例5 5 图示刚架，两杆的图示刚架，两杆的 EIEI 和和 EAEA 分别相同，试求分别相同，试求C
9、 C点点的水平位移的水平位移. .C FabAB25Fab1abxx解：在解：在 C C点加一水平单位力点加一水平单位力ABB ACCCB CB : :xxABAB : :26Fab1abxxABB ACCxx单位载荷法27例例6 6 由三杆组成的刚架，由三杆组成的刚架，B B、C C为刚性节点，三杆的抗弯为刚性节点，三杆的抗弯 刚度都是刚度都是EIEI，试用单位载荷法求，试用单位载荷法求A A1 1、A A2 2两点的相对位移两点的相对位移. .A1A2BCllFF28解：在解：在A A1 1，A A2 2 处加一对水平单位力处加一对水平单位力. . B B，C C 两支座的反力均为零两支座
10、的反力均为零. .A A1 1B B：BCBC：CACA2 2：FFxxx A1A2BCll11A1A2BC29A A1 1B B：BCBC：CACA2 2：单位载荷法A1A2BCFF30例例7 7 图示为一简单桁架，其各杆的图示为一简单桁架，其各杆的EAEA相等相等. . 在图示荷在图示荷 载作用下，载作用下， A A，C C 两节点间的相对位移两节点间的相对位移. .FaaFABCDE132456789a31FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的单位载荷法为11321 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8杆件编号杆件编号
11、9 90 0- -F F- -F F - -F F F F- -2 2F F0 01 10 0 0 0 0 0 0 0a a a aa a a a a aa a a a0 02 2FaFa0 0 0 0 0 0 0 0列表求解FaaFABCDE1324 56789aFaaABCDE132456789a1133在等直杆的情况下，莫尔积分在等直杆的情况下，莫尔积分 中的中的EIEI、GIGIP P、EAEA为常量，可为常量，可 提到积分号外面，只需计算提到积分号外面，只需计算13-8 计算莫尔积分的图乘法34满足三个条件1、 、 中至少有一个是x的线性函数。2、要积分的杆段是直线。3、所要积分的杆
12、段的EI是常数。可以用图乘法计算上述积分35设直线方程是设直线方程是设在杆长为设在杆长为 l l 的一段内的一段内MM( (x x) )图是曲线，图是曲线， 是直线。是直线。其中M图的面积MM图对图对 MM轴的静矩轴的静矩xdxM(x)xxlxcC 形 心36是和是和 MM( (x x) ) 图的形心对应处的图的形心对应处的MM( (x x) ) 的值的值. .直线方程直线方程M(x)xlxxcC 形 心37对于等直杆有对于等直杆有即即: :积分可用积分可用MM( (x x) )图的面积图的面积 和与和与MM( (x x) )图形心图形心C C对应的对应的 的乘积来代替的乘积来代替MMc c与
13、与MM图同侧，取正号；反之取负号图同侧，取正号；反之取负号。MMM(x)xlxxcC38b几种常见图形的面积和形心的计算公式几种常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线39lh顶点cN 次抛物线lh顶点c二次抛物线3 3l l/4/4l l/4/440折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时M(x)图为连续光滑曲线，而为折线，则应以M(x)然后求和。注意41例例8 8 均布荷载作用下的简支梁，其均布荷载作用下的简支梁，其 EIEI 为常数为常数. .求跨中点的挠度求跨中点的挠度. .A A B BCql l/2/2l l/2/242A A B BCql l
14、/2/2l l/2/2A A B BC1l l/2/2l l/2/2解：C2C143例例9 9 图示梁，抗弯刚度为图示梁，抗弯刚度为EIEI，承受均布载荷，承受均布载荷q q及集中力及集中力F F 作用作用. . 用图乘法求集中力作用端挠度为零时的用图乘法求集中力作用端挠度为零时的F F值；值；F CABalq44解：解：F CABalqMql2/8Fa1 ABalCaMC2C1C245ABPl，EI例10 求悬臂梁中点挠度。AB1l/2PlABPl，EIPl练习46例例1111 图示刚架，两杆的图示刚架，两杆的 EIEI 相同，试求相同，试求C C点的水平位移和点的水平位移和 C C截面转角截面转角（只考虑弯矩）。（只考虑弯矩）。CFabAB练习47解：在解：在 C C点加一水平单位力，分别做出在原有载荷和单点加一水平单位力，分别做出在原有载荷和单 位力作用下的弯矩图。位力作用下的弯矩图。1abBACFabABCFaFaaa48解：求解：求C C截面转角，则在截面转角，则在 C C截面加一单位力偶，分别做截面加一单位力偶，分别做 出在原有载荷和单位力作用下的弯矩图。出在原有载荷和单位力作用下的弯矩图。FabABCFaFa1abBAC11
