《《简明线性代数》答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《简明线性代数》答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1习 题 4.11求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）;563 101 121 解: 方阵的特征多项式为A 563 |11 121 IA263 01 221 ,263 01 044 3(2)方阵的特征值为.A1232解方程组.由(2) 0IA x,363121 2121000 121000r IA得基础解系，.12 1 0 p21 0 1 p因此,方阵对应于的全部特征向量为A1232(不同时为零).1122kkpp12,k k（2）.123 213 336 解: 方阵的特征多项式为A 123 |213 336 IA323 313 636 ,23 13 36 23 010 059 (1)(9)
2、2方阵的特征值为,.A11 2039当时,解方程组.由11 () 0IA x,223110 223001 334000r IA得基础解系.11 1 0 p因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).A11 11k p1k当时,解方程组.由20() 0A x,123101 213011 336000r A得基础解系.21 1 1 p因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).A2022k p2k当时,解方程组.由39(9) 0IA x,823110 9283021 333000r IA得基础解系.31 1 2 p因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).A3933k p3k2设,为的特征值.证
3、明为10( )n nf xa xa xaA( )f10( )n nfaaaAAAI的特征值. 证明: 存在非零向量,使.于是pApp,22()()A pApApp,3223()()A pApApp3, ,11()()nnnnA pApApp10( )()n nfaaaA pAAI p10n naaaA pApp10n naaappp.10()( )n naaafpp因此,为的特征值.( )f( )f A3已知 3 阶矩阵的特征值为,求.A1,2,332|57|AAA解: 记,则的特征值为32( )57f xxxx( )f A,.(1)3f(2)2f(3)3f 于是.32|57|( )|(1)
4、(2) (3)18ffffAAAA4设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明nA（1）为的特征值;11A（2）为的特征值.1|A*A证明: (1) 存在非零向量,使.于是pApp,11()pApA p11A pp因此,为的特征值.11A(2) 因,而为的特征值,所以由题 2 知*1|AA A11A为的特征值.1|A*A5已知 3 阶矩阵的特征值为,求.A1,2, 3*|32 |AAI解: 因矩阵的特征值为,所以A1,2, 3,.|6 A*11|6 AA AA记,则的特征值为6( )32f xxx ( )f A,.(1)1f (2)5f(3)5f 于是.*|32 |AAI1| 632 | AAI|( )
5、|(1) (2) (3)25ffffA6设有四阶方阵满足条件,求方A|3|0IAT2AAI| 0A阵的伴随矩阵的一个特征值.A*A4解: 因,故,可知的一个特征值为.由,|3|0IA| 3|0IAA3 T2AAI 得.2T| |16AAA因,所以.于是的一个特征值为.| 0A|4 A*A14|3A7已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量.试11k a211 121 112 A1A求常数.k解: 存在的特征值,使得.故有,即得1A1A aaAaa.31 22 31k kk k 解此方程,求得或.1k 2k 8设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的001 1 100xy Axy条件. 解: 方阵的特征
6、多项式为A,01 |1 10xy IA2(1) (1)方阵的特征值为,.A12131 因有三个线性无关的特征向量,所以的几何重数等于代数重数,也A11即.因此.而13()2RIA1()1RIA.1101101 000 101000xyyx IA当且仅当时,有三个线性无关的特征向量.0xy1()1RIAA59设矩阵可相似对角化,求.201 31405x Ax解: 方阵的特征多项式为A,2201 |31(1) (6) 405x IA方阵的特征值为,.A12136因可相似对角化,所以的几何重数等于代数重数,即A11,.13()2RIA1()1RIA而.1101101 30003 404000xx I
7、A当且仅当时,可相似对角化.3x 1()1RIAA10设三阶方阵的特征值为,对应的特征向量依A1231,2,3次为,10 1 0 p21 0 0 p30 0 1 p求.nA 解: 记,则有.因此123(,)Pp pp1: diag(1,2,3)P AP,.1APP1nnAP P 注意是初等矩阵,知.于是P(1,2)E1PP11 2 3nnnn AP PPP.02103nn P20013nn 611已知矩阵与相似.200 00101x A200 00001y B（1）求和;xy（2）求一个满足的可逆矩阵.1P APBP 解: (1) 因矩阵与对角矩阵相似,故知矩阵的特征值为.由ABA2, , 1
8、y 特征值的性质,我们有 ,.|2y Atr( )1y A 于是得方程组.22 21y xy 求得.0,1xy(2) 当时,解方程组.由12(2) 0IA x,000010 2021001 012000r IA得基础解系.T 1(1,0,0)p当时,解方程组.由21() 0IA x,100100 011011 011000r IA得基础解系.T 2(0,1,1)p当时,解方程组.由31 () 0IA x,100100 011011 011000r IA得基础解系.T 2(0, 1,1)p所以,满足的一个可逆矩阵为1P APBP.123100 (,)011 011 Pp pp12设都是阶方阵,且,证明与相似.,A Bn|0A ABBA证明: 因,故可逆.因为,所以与|0A A1()AAB ABAAB 相似.BA
