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1、2 基本力系2-1汇交力系的合成现实生活中往往有许多力的作用线汇交 于一点。我们把这样的力系称为汇交力系。几何法设F1、F2、F3和F4为一组 汇交力系作用于刚体上。xyzF1F2F3F4F1F2 F3F4R12R123R abcdeF3R12F3R12F3R12R123R123R123R123F4F4F4F4称多边形 abcde 为力多边形，R 为封闭边。 R = R123 + F4 = R12 + F3 + F4 = F1 + F2 + F3 + F4 推广得：R = F1+F2+FN = FiO OxyzijkXiFiFi = X i i + Y i j + Z i k R = F1 +
2、 F2 + + FN =F i =( X i ) i +(Y i ) j +( Z i )k 又由 R = Rx i + Ry j + Rz k 得： Rx =X i ; Ry =Y i ; Rz = Zi显然，合力的大小方向余弦 cos(R , i ) = R x / R ; cos(R , j )= R y / R ; cos(R , k) = R z / RR =把空间中的力 Fi 向三个坐标轴投影，分别为X i、Y i 和 Z i 。XiZiYiZiYiXiZiYi 解析 法O Oxyz2-2汇交力系的平衡条件F1F2F3F1F2 F3R12abcdF4R123F4设F1、F2、F3和
3、F4为作用于刚体上的一组汇交力系，使刚体平衡。由二力平衡条件知：要使刚体保持平衡，需满足R123 + F4= 0 又因为 R123 = F1+F2+F3 所以 R = R123 + F4= F1+F2+F3 + F4 = 0 a力多边形自行封闭了。力多边形自行封闭了。O O汇交力系平衡的解析条件： X i = 0; Y i = 0 ; Zi = 0 推广前述的证明可得 汇交力系平衡的充要条件： R = F1+F2+ +FN = 0 即 F i = 0汇交力系平衡的几何条件： 力多边形自行封 闭。 结结 论论由 R = 0= 0ABFhRO P图示石磙重 P = 20kN，半径 R = 0.6m
4、，障 碍物高 h = 0.08m 。求（1）水平力 F = 5kN 时磙 对地面和对障碍物的压力；（2）欲将磙拉过障碍 物 F 沿什么方向拉最省力，此力为多大？例 2-1解：(1)首先受力分析cos = (R - h) / R= 0.866 故 = 30 再画力多边形 (见 后续）F FA AF FB B按比例量得： FA=11 .4 kN，FB=10kNF FP P P P F F F FF FB BF FminminFmin = P sin = P/2 =10kN( 2)例2-1（续 ）F F F F F FF FB BF FA AF FB B对对对对于手算，在列平衡方程于手算，在列平衡方
5、程时时时时，往往将第，往往将第 一个投影量作一个投影量作为为为为正投影。正投影。对对对对以后的投影以后的投影 量量则认为则认为则认为则认为 ： 与第一个量方向同，取正与第一个量方向同，取正 号，否号，否则则则则，取，取负负负负号。号。A AB BC CE ED D P PZ = 0 ， S cos +P = 0 S = - P / cos = - 1414N X = 0 ，TC sin - TD sin = 0 T C = T D Y = 0 ，TC cos+ TD cos + S sin = 0 TC = S sin / (2 cos) = 559 Nz zx xy yT TC CS SPP
6、例 2-2重为 P 的物体受无重杆 AB 和绳索AC、AD 的支承（ACD 位于同 一水平面内）。已知 P =1000N, = 45, CE = ED = 12cm ， EA = 24cm ，求绳索的拉力和杆所受到的力。 解：以节点 A 为研究对象， 取坐标轴如图T TD DS ST TC CT TD DS S受力分析，假定受力分析，假定 AB AB 杆受拉杆受拉PPP P T TD DT TC Cx xy yO O平面汇交力系的特殊情形 1、力在轴上的投影根据力在某轴上的 投影等于力的模乘以力与投影轴正 向间夹角的余弦。对于正交轴 Oxy ，有F = X i + Y j必须注意，力在轴上的投
7、 影 X、Y 为代数量（力与轴间的夹 角为锐角时，其值为正），而力沿 两轴的分量是矢量。 在两轴相互不 正交时，分力在数值上不等于投影 。2、平面问题的平衡条件X = 0，Y = 0事实上，两坐标轴并不要求一定相互垂直，只要两轴 不平行即可。（思考）X XY YF Fy yF Fx xF F分力分力投影投影X XY YF Fy yF Fx x分力分力投影投影求图示结构支座 A、B 的反力。 各杆的自重忽略，且 ABC = BAC = 3030 。例2- 3C CA A B BP PF FF FB BF FA A解：解：法法 一，取坐标轴如图并做受力分析一，取坐标轴如图并做受力分析 X X =
8、0, = 0, F FA A coscos 30 30 F FB B coscos 30 + 30 + F F = 0 = 0 Y Y = 0, ( = 0, ( F FA A+ + F FB B ) Sin30 ) Sin30 P P = 0 = 0y y x xF FB BF FA AF FB BF FA AF FB BF FA A联立求解，便可解出联立求解，便可解出 F FA A和和 F FB B（这里暂不解）这里暂不解） C CA A B BP PF FF FB BF FA A例2-3 续法法 二，二，取坐标轴如取坐标轴如 图图x x X X = 0 , = 0 , F FB B co
9、s30cos30 P P cos30cos30 F F cos60= 0 cos60= 0 Y Y = 0 , = 0 , F FA A cos30+ cos30+ F F cos60 cos60 P P cos30 = 0 cos30 = 0y y显见，显见，x x 和和 y y 轴并不相互正交，而求解反而方便了。轴并不相互正交，而求解反而方便了。2-3 力对点的矩n nO O1. 力对刚体的转动效应用力对点的矩来度 量a. 平面力系的力对同平面中的点之矩h hO OA AB BF F 假设假设力作用在图 示平面内，且 O点也 在此平面内，则力 F 对 O 点的矩为M O ( F ) = F
10、 h 或： M O ( F ) =2OAB 力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。O 称为矩心h 称为力臂单位：Nm 或 kNmh hO OA AB Bh hO OA AB Bh hO OA AB Br rF F F Fn n n n n n n nh hA AB BMMO O( (F F) )r rh hA AB BMMO O( (F F) )r r 空间力系中力对点空间力系中力对点 的矩需用矢量表示：的矩需用矢量表示：h hA AB BO Oz zx xy yMMO O( (F F) )矩的矢量记作矩的矢量记作 MMO O ( (F F) ) ，且且
11、MMO O ( (F F) =) = r r F F 定位矢量定位矢量b. 空间力系中的力对点的矩2 2）矢量的方位与力和矩）矢量的方位与力和矩 心组成的平面心组成的平面 的法向的法向 同，同，矩心为矢起端矩心为矢起端；3）矢量的指向确定了转 向，按右手法则。r r1 1）矢量的模等于力矩的）矢量的模等于力矩的 大小；大小；h hA AB BMMO O( (F F) )r r显然显然 | | MM O O ( (F F) | = ) | = F hF h = = 2 OABF F见见后后续续力对点的矩为零的条件：要使 | MMO O ( (F F ) | = 0) | = 0， 就有就有r r
12、 F F =0=0，得：得：1 1） r r = 0 = 0 或或 r r 与与 F F 共线，即力通过矩心；共线，即力通过矩心； 2 2） F F = 0 = 0力对点的矩采用行列式可得如下形式： 由：由： r r = = x x i i + + y y j j + + z z k k 和和 F F = = X X i i + + Y Y j j + + Z Z k k可得：可得：= ( y Z - z Y ) i i + ( z X - x Z ) j j + ( x Y - y X )k k2. 合力矩定理设 r 为矩心到汇交点的矢径，R 为F1、F2、 、Fn的合力，即： R = F1
13、 + F2 + Fn可得： MMO O ( (R R) = ) = r r R R = = r r( ( F1 + F2 + Fn ) = = r r F1 + + r r F2 + + + + r r Fn= MMO O ( (F1) + ) + MMO O ( (F2) + + ) + + MMO O ( (F n ) ) 也就是：汇交力系的合力对点的矩等于该力系汇交力系的合力对点的矩等于该力系 所有分力对同一点的矩的矢量和所有分力对同一点的矩的矢量和。证：2-4 力偶理论1. 力偶与力偶矩力偶 由两个等值、 反向且不共线的平行力系 组成。记作（ F，F ） 这一矢量称作 力偶矩矢1） 其
14、长度表示力偶矩大小；d dF FFFB BA A两个力组成的平面称 力偶作用面两个力间的垂距 d 称为 力偶臂空间力系因力偶作用面 的方位可能各不相同， 故把力偶用矢量表示。MM2）方位与作用面法方向方位 n 同 。 3）指向与力偶转向的关系服从 右手螺旋法则。n nMMd d d d d dMMn nMMMMn nMMMMn nMM按前述的力偶三要素可知，力偶矩矢可 以平行搬移，且不需确定矢的初端位置。为 进一步说明力偶矩矢为自由矢，显示力偶的 等效性质，可以证明：n nd dF FFFB BA AMMn nMM F F = -= - F F 显见力偶矩的大小为显见力偶矩的大小为MM为为 自
15、自 由由 矢矢MM为为 自自 由由 矢矢MM为为 自自 由由 矢矢MM为为 自自 由由 矢矢O Oa. 力偶矩矢是自由矢力偶力偶对对空空间间任一点的矩都任一点的矩都 相等，即等于力偶矩矢相等，即等于力偶矩矢。证：如图求力偶（F，F ）对任意 点，如 O 点的矩。 画出 O 点到二力作用点 A、B 的矢径所以，力偶对空间任意点的矩矢所以，力偶对空间任意点的矩矢与矩心无关与矩心无关。b . 平面力偶系的力偶若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在 同一平面内，则称为平面力偶系。F FF F B BA AC Cd d将平面力偶系的力偶记作 M (F, F)，简称 M 。 力偶矩为代数量即： M = F d = 2 ACB一般以逆时针为正，反之
