《弹性力学第3章—应变》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学第3章—应变（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、弹性力学弹性力学课件制作：课件制作： 丁勇、单艳玲、章子华丁勇、单艳玲、章子华 配套教材：配套教材： 弹性与塑性力学引论中国水利水电出版社，丁勇弹性与塑性力学引论中国水利水电出版社，丁勇宁波大学 建筑工程与环境学院宁波大学 建筑工程与环境学院联系方式：联系方式：弹性力学弹性力学第第3章 应变章 应变3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念位移:位移:刚性位移变形位移刚性位移变形位移物体内各点的位置变化，但 任意两点间的距离保持不变物体内各点的位置变化，但 任意两点间的距离保持不变物体内任意两点之间的 相对距离发生了改变。物体内任意两点之间的 相对距离发生了改变。研究物体的变形规律，只需
2、要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究变形位移变形位移位移函数位移函数( , , )( , , ) ( , , )uu x y zvv x y z ww x y z= =xyzOAABB( )iijuu x=张量形式张量形式1,2,3i =1,2,3j =3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念微线段的位移与变形:微线段的位移与变形:xyO000(,)P xy( , )P x ySSS000(,)P xy( ,)P x yS() ()() ()()000000OPPPOPP POPOPPPP P=+=+=+0SS
3、uu? ? ? ? ?发生位移后的微线段：发生位移后的微线段：0uuS其中为原线段， 、 分别为线段起点、终点的位移，所以其中为原线段， 、 分别为线段起点、终点的位移，所以=0SSSuu上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量ii0iSuu=3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念微线段的位移与变形:微线段的位移与变形:xyO000(,)P xy( , )P x ySSS000(,)P xy( ,)P x yS考虑到，将P点位移 在P考虑到，将P点位移 在P0 0点按照泰勒级数展开其中称为点按照泰勒级数展开其中称为相对位移张量相对位
4、移张量。 所以线段矢量各方向的变化量（）可以由原线段矢量 （ ）和相对位移张量（）来表示。所以线段矢量各方向的变化量（）可以由原线段矢量 （ ）和相对位移张量（）来表示。ii0iSuu=( )iijuu x=()2 ,0jjjiiiSoSuuu+=1,2,3i =联合下式得到联合下式得到,ii jjSu S=jiu,iSjSjiu,3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念相对位移张量的分解:相对位移张量的分解:相对位移张量可以分解为对称张量和反对称张量之和，即相对位移张量可以分解为对称张量和反对称张量之和，即对称部分称为对称部分称为应变张量应变张量，反映物体的变形，反映物体的变形()(
5、),11 22i ji jj ii jj iuuuuu=+(),1 2iji jj iuu=+反对称部分称为反对称部分称为转动张量转动张量，反映物体的刚体位移，反映物体的刚体位移(),1 2iji jj iuu=, i jijiju=+即即3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念微线段的刚体位移:微线段的刚体位移:刚体位移时，矢量在位移前后的长度（模）相等联合右式化简并略去高阶小量后得到刚体位移时，矢量在位移前后的长度（模）相等联合右式化简并略去高阶小量后得到,ii jjSu S=()()SS=+=iiiiiiSSSSSS02=iiSS得到得到0,=jjiiSuS展开后，即为展开后，即
6、为()()()222222222 1,112,223,331,22,1122,33,2233,11,3310u Su Su SuuS SuuS SuuS S+=S是任意线段，因此上式成立的条件是S各分量的系数为零，即S是任意线段，因此上式成立的条件是S各分量的系数为零，即 0,=+ijjiuu因此因此刚体位移所对应的相对位移张量是反对称张量，反之亦成立刚体位移所对应的相对位移张量是反对称张量，反之亦成立3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念应变张量的物理意义:应变张量的物理意义:应变张量反映了物体的变形，因此变形导致的线段矢量 变化量为当矢量 平行于 轴时，其余为0，所以应变张量反映
7、了物体的变形，因此变形导致的线段矢量 变化量为当矢量 平行于 轴时，其余为0，所以iijjSS=SS =111 11SS=可见表示x方向的线应变（单位长度的伸长量），同理、可见表示x方向的线应变（单位长度的伸长量），同理、分别为y、z方向的线应变。分别为y、z方向的线应变。1122331.拉压应变（线应变）1.拉压应变（线应变）3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念应变张量的物理意义:应变张量的物理意义:若两个矢量变形前分别平行于x、y轴若两个矢量变形前分别平行于x、y轴2.剪切应变2.剪切应变O1S1xS2S1S2Syx2xS1yS2yS1122S S= =Si Sj 变形后分别为
8、变形后分别为 ()() ()() +=+=yxyx SSSSSS22221111 jiSjiS变形后两个矢量的夹角的余弦为变形后两个矢量的夹角的余弦为1122 12 1221cos2yxSSuv SSyx=+=+=SS SS变形后S变形后S1 1、S、S2 2所夹直角的改变量为所夹直角的改变量为12sincos2=3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念应变张量的物理意义:应变张量的物理意义:因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为2.剪切应变2.剪切应变O1S1xS2S1S2Syx2xS1yS2yS该改变量即为剪应变该改变量即为剪应
9、变122=122xy=同理可得同理可得232yz=312zx=3.1 变形与应变的概念3.1 变形与应变的概念应变张量的物理意义:应变张量的物理意义:汇总汇总其中各个分量的下标1、2、3也可用x、y、z代替，即三维问题时应变张量（分量）的物理意义为其中各个分量的下标1、2、3也可用x、y、z代替，即三维问题时应变张量（分量）的物理意义为1112222333312 22xxyyyzzzx = = =111221222332333213xxyyxyyzzyzzxxz = = =3.2 转轴时应变分量的变换3.2 转轴时应变分量的变换应变张量在坐标变换时的转换公式应变张量在坐标变换时的转换公式Oxy
10、zzyxO令变换前后的坐标系分别为和，推导表明令变换前后的坐标系分别为和，推导表明i jij i i j jl l =),cos(iii ilxx=3 , 2 , 1=iiixx,OxyzzyxO其中，。分别为和坐标系的坐标轴。上式即为坐标变换时，二阶应变张量服从的变换规律。它说明应变是一个二阶张量，由此可以求出不同坐标系下的应变。其中，。分别为和坐标系的坐标轴。上式即为坐标变换时，二阶应变张量服从的变换规律。它说明应变是一个二阶张量，由此可以求出不同坐标系下的应变。ij3.3 主应变3.3 主应变主平面（应变）：主平面（应变）：物体内只有正应变，没有剪应变的截面。物体内只有正应变，没有剪应变
11、的截面。主方向（应变） ：主方向（应变） ：主平面的法线方向 n 称为主方向 。主平面的法线方向 n 称为主方向 。主应变：主应变：主平面上的正应变称为主应变 。主平面上的正应变称为主应变 。n3.3 主应变、应变偏量及其不变量3.3 主应变、应变偏量及其不变量主应变与主方向：主应变与主方向：假设主方向n，该方向上的矢量只有长度变化，没有转动，且满足假设主方向n，该方向上的矢量只有长度变化，没有转动，且满足()321,lllxyzABCnOSnSnn zzyyxxnn SS SSSS SS=即即iniSS=niijjSS=联合右式联合右式()0=jijnijS得到得到,1,2,3i =上式是以
12、为待求变量的线性代数方程组，有非零解的条件是系数行列式为零上式是以为待求变量的线性代数方程组，有非零解的条件是系数行列式为零jS因此有因此有3.3 主应变、应变偏量及其不变量3.3 主应变、应变偏量及其不变量主应变与主方向：主应变与主方向：0= nzzyzxyznyyxxzxynx其中称为其中称为应变张量的第一、第二、第三不变量应变张量的第一、第二、第三不变量行列式展开后得到行列式展开后得到 0322 13=IIInnn321,III1iiI =()21 2iikkikkiI =+ijzyzxzzyyxyzxyxx I =3上述方程的三个实根即为主应变，进一步可以求得主方向，以及剪应变的三个极
13、值。上述方程的三个实根即为主应变，进一步可以求得主方向，以及剪应变的三个极值。3.3 主应变、应变偏量及其不变量3.3 主应变、应变偏量及其不变量主应变与主方向：主应变与主方向：0322 13=IIInnn123,()123= ()213= ()312= 3.4 体积应变3.4 体积应变物体变形后单位体积的改变量称为体积应变。物体变形后单位体积的改变量称为体积应变。体积应变体积应变原体积原体积 Vdxdydz=()()()()*1111xyzxyzVdxdydzdxdydz=+变形后体积变形后体积*xyzVV V=+3.7 应变协调方程3.7 应变协调方程根据上述几何方程，6个应变分量由3个位
14、移分量表示， 因此，6个应变分量之间存在一定的关系，这个关系就是应变 协调方程。应变协调方程的推导在物理意义上，若把一个物体划分成许多网格，如果对应变不加任何约束，即不要求应变协调的话，网格在变形后可能出现根据上述几何方程，6个应变分量由3个位移分量表示， 因此，6个应变分量之间存在一定的关系，这个关系就是应变 协调方程。应变协调方程的推导在物理意义上，若把一个物体划分成许多网格，如果对应变不加任何约束，即不要求应变协调的话，网格在变形后可能出现“撕裂撕裂”或或“套叠套叠”等不协调现象，破坏物体的连续性。等不协调现象，破坏物体的连续性。(),1 2iji jj iuu=+yxxv yu yxxyv yxu xyxyyx = + =+=+22232322223.7 应变协调方程3.7 应变协调方程222222222222222222222yxyyzxyxxxzyyzyyzxyzxzyzxyzxzxzxzyxx yy zxxyzzyy zx zyxyzxzz xx yzxyz+=+ +=+ +=+ 一共可以得到6个应变协调方程应当指出，由位移求应变，应变协调方程自然满足；但是如果先求应变，再求位移时，需要同时考虑应变协调方程。一共可以得到6个应变协调方程应当指出，由位移求应变，应变协调方程自然满足；但是如
