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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文文 科科 数数 学学本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第卷 1 至 2 页, 第卷 3 至 5 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本 试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第第卷卷注意事项：注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共 8
2、小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么)( )( )(BP AP AP B棱柱的体积公式 V = Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱 柱的高. 如果事件 A, B 相互独立, 那么 )( ) ()BP AAPPB球的体积公式 34.3VR其中 R 表示球的半径. 一选择题一选择题: 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = xR| |x|2, B= xR| x1, 则 AB (A) (B) 1,2(C) 2,2(D) 2,1(,2【答案】
3、D【解析】因为,所以，选 D.22Axx 21BAxx (2) 设变量 x, y 满足约束条件则目标函数的最小值为360, 20, 30,xy yxy 2zyx(A) 7(B) 4 (C) 1(D) 2【答案】A【解析】由得。作出可行域如图，平移直线2zyx2yxz，由图象可知当直线经过点 D 时，直线的截距最小，此时2yxz2yxz2yxz最小，由，得，即代入得，选 A.z20 30xy y 5 3x y (5,3)D2zyx32 57z (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 n 的值为(A) 7(B) 6 (C) 5(D) 4【答案】D【解析】第一次循环，；第二次循环，1
4、,2Sn ；第三次循环，21 ( 1)21,3Sn ；第四次循环，31 ( 1)32,4Sn ，满足条件输出，选 D.42( 1)42S 4n (4) 设, 则 “”是“”的, a bR2()0ab aab(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若，则，即。若时，所以2()0ab a0abab0ab2()0ab a是的充分而不必要条件，选 A.2()0ab aab(5) 已知过点 P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则225(1)xy10axy a (A) (B) 11 2(C) 2(D) 1 2【答案】C
5、【解析】设直线斜率为，则直线方程为，即，圆心k2(2)yk x220kxyk到直线的距离，即，解得。因为直线与直线(1,0) 2225 1kkk 225 1kk 1 2k 垂直，所以， 即,选 C.10axy 11 2ka 2a (6) 函数在区间上的最小值是( )sin 24f xx0,2 (A) (B) 12 2(C) (D) 02 2 【答案】B【解析】当时，所以当时，函0,2x02x32444x244x 数的最小值为，选 B.( )sin 24f xx2sin()42y (7) 已知函数是定义在 R 上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数 a 满足( )f x0,), 则 a 的取值
6、范围是21 2(log)(log)2 (1)faffa (A) (B) 1,210,2(C) (D) 1,22 (0,2【答案】C【解析】因为函数是定义在 R 上的偶函数，且，所以( )f x1 22loglogaa ，即，因为函22212 2(log)(log)(log)( log)2 (log)2 (1)fafafafafaf2(log)(1)faf数在区间单调递增，所以，即，所以，解得0,)2(log)(1)faf2log1a 21log1a ，即 a 的取值范围是，选 C.122a1,22 (8) 设函数. 若实数 a, b 满足, 则22, ( )ln)3(xxg xxxxfe (
7、)0, ( )0f ag b(A) (B) ( )0( )g af b( )0( )f bg a (C) (D) 0( )( )g af b( )( )0f bg a【答案】A【解析】由得，分别令220, ( )ln(30)xxg xxexf x22,ln3xxxex ，。在坐标系中分别作出函数122( ),( )xf xefxx 22 1( )ln ,( )3g xx gxx ，的图象，由图象知。122( ),( )xf xefxx 22 1( )ln ,( )3g xx gxx 01,12ab此时，所以又。，所以，即，选 A. 21( )( )g aga( )0g a 12( )( )f
8、bf b( )0f b ( )0( )g af b2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文文 科科 数数 学学第第卷卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分.二填空题二填空题: 本大题共本大题共 6 小题小题, 每小题每小题 5 分分, 共共 30 分分. (9) i 是虚数单位. 复数(3 + i)(12i) = .【答案】55i【解析】(3 + i)(12i)。232655iiii (10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .9 2【答案】3【解析】设正方体的棱长为，则正
9、方体的体对角线为直径，即，即球半径a32ar。若球的体积为，即，解得。3 2ra9 23439()322a3a (11) 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离28yx22221(0,0)xyabab心率为 2, 则该双曲线的方程为 .【答案】2 213yx 【解析】抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在准线上，所以2x 2x ，即，且双曲线的焦点在轴上。又双曲线的离心率为 2，即，2c 2c x22ceaa解得，所以，所以双曲线的方程为。1a 2224 13bca 2 213yx (12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, , E 为 CD 的中点. 若, 则 A
10、B 的长60BAD1AC BE 为 .【答案】1 2【解析】因为 E 为 CD 的中点，所以. 11 22BEBCCEADDCADAB 因为，所以ADACAB 1AC BE ，即22111() ()1222AC BEADABADABADABAB AD ，所以，解得。2111cos60122ABAB 211024ABAB 1 2AB (13) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中, AB/DC, 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦 BD 的长为 . 【答案】15 2 【解析】连结 AC,则，所以梯形 ABCD 为等腰EABACBAD
11、BABDDCA 梯形，所以，所以，所以,所以5BCAD24 936AEBE CE6AE .又,即，2222226543cos22 6 54AEAB BEEABAE AB 2222cosABADBDAD BDADB2223552 54BDBD 整理得，解得。21502BDBD15 2BD (14) 设 a + b = 2, b0, 则的最小值为 . 1| 2|a ab【答案】3 4【解析】因为，所以。显然当2ab1| 2|a ab|14|4|4|4|abaabaa abaaba 时，且时，上式取等号，此时，联立，解得，此时0a 2ba2ba 2ab2a 。所以当时，的最小值为。23114|424
12、a a 2a 1| 2|a ab3 4三解答题三解答题: 本大题共本大题共 6 小题小题, 共共 70 分分. 解答应写出文字说明解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S4, 则 该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质
13、量指标(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)() 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; () 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, () 用产品编号列出所有可能的结果; () 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发 生的概率. (16) (本小题满分 13 分)在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知, a = 3, . sin3 sinbAcB2cos3B () 求 b 的值; () 求的值. sin 23B(17) (本小题满分 1
14、3 分) 如图, 三棱柱 ABCA1B1C1中, 侧棱 A1A底 面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1的中点. () 证明 EF/平面 A1CD; () 证明平面 A1CD平面 A1ABB1; () 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. (18) (本小题满分 13 分)设椭圆的左焦点为 F, 离22221(0)xyabab心率为, 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 3 34 3 3() 求椭圆的方程; () 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 , 求 k 的值. 8AC DBADCB (19) (本小题
