《数列专题2求数列的通项公式,方法,习题,答案。》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列专题2求数列的通项公式,方法,习题,答案。（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1数列专题 2 求数列的通项公式 一等差数列的性质等差数列的性质： 1当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；0d 11(1)naanddnadnd前和是关于的二次函数且常数项为 0.n2 11(1)()222nn nddSnadnannSn/n=d/2 *n+a1-d/2,故数列Sn/n是等差数列。an=An+B,SN=An2+Bn, 数列为等差数列 2若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。0d 0d 0d 3当时,则有，特别地，当时，则有.mnpqqpnmaaaa2mnp2mnpaaa二二. .等比数列的性质等比数列的性质：（1）当时
2、，则有，特别地，当时，则有.如如mnpqmnpqaaaaAA2mnp2 mnpaaaA（1 1）在等比数列中，公比 q 是整数，则=_（答：512） ；na3847124,512aaa a 10a(2) 当时，这里，这是等比数列前项和公式的一个特征，1q a-1111nn naqqaqqaS0,0abn据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如如若是等比数列，且，则 （答：nSnana3nnSrr1） Sn=aqn-a 数列为等比数列。 三三、数列通项的求法： 公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如如已知数列试写出其一个通项公式：,3219 ,1617 ,815 ,413_（答：）11
3、212nnan 已知（即）求，用作差法：。nS12( )naaaf nna11,(1) ,(2)nnnSnaSSn如：如：已知的前项和满足，求 （答：） ；nan2log (1)1nSnna3,1 2 ,2nnnan数列满足，求 （答：）na12211125222nnaaanna114,1 2,2nnnan已知求，用作商法：。12( )na aaf nA A Ana(1),(1) ( ),(2)(1)nfn f nanf n如如数列中，对所有的都有，则_ （答：）na, 11a2n2 321naaaan53aa61 16 若求用累加法：。1( )nnaaf nna11221()()()nnnn
4、naaaaaaa1a(2)n 如如已知数列满足，则=_（答：）na11a nnaann111(2)n na121nan 已知求，用累乘法：。如如已知数列中，前1( )nnaf nana12 1 121nn n nnaaaaaaaa(2)n na21a项和，若，求 （答：）nnSnnanS2na4 (1)nan n注意注意：（1 1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，1nnnSSa2n 1n ） ；（2 2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条11Sa nanS1nnnSSa件转化为只含或的关系式，然后再求解。nanS如如数列满足，求 （答
5、：）na11154,3nnnaSSana14,1 3 4,2nnnanA2四、四、 1、已知数列、已知数列递递推式求推式求,用构造法用构造法(构造等差、等比数列构造等差、等比数列)： ：na形如形如,， ，an=kan-1+an(， ，a 为为常数常数)的的递递推数列都可以用待定系数推数列都可以用待定系数1nnakab1n nnakab1nnakaa nb, k b法法转转化化为为公比公比为为的等比数列后的等比数列后,再求再求.kna 转转化化为为： ：an+x=K(an-1+x) 求出求出 X=b/(k-1),k=1 时时无解，无解， an为为等差数列，等差数列，1nnakabd=b,可以直
6、接写出。可以直接写出。已知，求（答：） ；111,32nnaaana12 31n naAan=Kan-1+AbN 转转化化为为： ：an+xbN=K(an-1+xbN-1) 求出求出 X=A/(k/b-1),k=b 时时无解，无解， an/bn为为等差等差数列，数列，d=A,可以直接写出。可以直接写出。已知，求（答：） 111,32nnnaaana115 32nn naA转转化化为为： ：an+An+B=K(an-1+A(n-1)+B) 求出求出 A= a/(k-1),B=b/(k-1)+ka/(k-1)2， ，1nnakaa nbk=1 时时无解，只能用累加法。无解，只能用累加法。 an=k
7、an-1+a.n 转转化化为为： ：an+A(n+1)+B=K(an-1+An+B) 同上同上,求出求出 A ,B(必必须设须设出出 B,它不它不为为 0） ）2、形如形如的的递递推数列都可以用推数列都可以用 “取倒数法取倒数法”求通求通项项.11nnnakaba如如已知，求（答：） ；1 1 11,31n n naaaana1 32nan已知数列满足=1，求（答：）1a11nnnnaaa ana21nan3、数列求和的方法：、数列求和的方法：公式法：等差数列公式法：等差数列,等比数列求和公式；等比数列求和公式； 分分组组求和法；求和法；倒序相加；倒序相加；错错位相减；位相减；分裂通分裂通项项
8、法法.例例 1：已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56n nnaaa ， na解：法一：等比数列法：设1 152(5 )nn nnaxax 将代入式，得，123 5nnnaa 123 55225nnn nnaxax 等式两边消去，得，两边除以，得2na13 5525nnnxx5n352 ,1,xxx 则代入式得1 152(5 )nn nnaa 由及式得，则，则数列是以为首项，以 21 156510a 50n na 1 1525n n n na a 5 n na 1 151a 为公比的等比数列，则，故。152nn na125nn na评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知
9、数列123 5nnnaa 1 152(5 )nn nnaa 是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。5 n na 5 n na na3法二：累加法：，两边同除以 2n+1得到：1123 56n nnaaa ，an+1/2n+1 -an/2n =(3/2)n25）（an/2n -an-1/2n-1 =(3/2)(5/2)n-1 .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。a3/23 -a2/22 =(3/2)(5/2)2 a2/22 -a1/21 =(3/2)(5/2
10、)1 以上式子想家得到：an/2n -a1/21 =(3/2)(5/2)1 + (3/2)(5/2)2 +.(3/2)(5/2)n-1=3/2(5/2)(5/2)n-1-1)/(5/2-1)整理后答案同上。例例 2. 已知数列 na的前 n 项和 Sn满足2( 1) ,1n nnSan ()写出数列 na的前 3 项;,321aaa ()求数列 na的通项公式解：当 n=1 时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当 n=2 时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当 n=3 时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知 a1=1,a2=0,a3=
11、2；由已知得：1 112( 1)2( 1)nn nnnnnaSSaa 化简得：1 122( 1)nnnaa 上式可化为：1 122( 1)2( 1)33nn nnaa 故数列2( 1)3n na 是以1 12( 1)3a 为首项, 公比为 2 的等比数列.故121( 1)233nn na 121222( 1)2( 1) 333nnnn na A数列na的通项公式为：222( 1) 3nn na .例例 3 3已知数列中，.求数列na11 2a 12nnaan na的通项；【解析】依题有，即，可变形为12nnaan11 22nnnaa，可知数列是以为首项，为公比的等比数列。从11(1)2(2)2
12、nnanan2nan1123a 1 2而113 ( )2(*)2n nannN5、练习题：练习题：1、已知，求（答：） ；111,32nnaaana12 31n naA42、已知，求（答：） ；111,32nnnaaana115 32nn naA3、已知是递增数列，且对任意nN N*，都有恒成立， 则实数 的取值范围是nannan2A.0 B.-3解 3、D 依题意，恒成立，.nnaa112) 1() 1(22 1nnnnnaann则 2n+1+0-(2n+1)恒成立，-(2n+1)-3，故满足条件的 的取值范围是 -3.4. 设数列an的前项的和 Sn=31（an-1） (nN)()求 a1
13、；a2； ()求证数列an为等比数列1. 解: ()由) 1(3111aS,得) 1(3111aa 1a21 又) 1(3122aS,即) 1(31221aaa,得412a.()当 n1 时,),1(31) 1(3111nnnnnaaSSa得,211nn aa所以 na是首项21,公比为21的等比数列5. 已知二次函数( )yf x的图像经过坐标原点，其导函数为( )62fxx，数列na的前 n 项和为nS，点( ,)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上（）求数列na的通项公式；解：（解：（）设这二次函数 f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点( ,)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上，所以nS3n22n.当 n2 时，anSnSn1（3n22n）) 1(2) 132nn（6n5.当 n1 时，a1S13122615，所以，an6n5 （nN）.6.已知数列 na的前 n 项和 Sn满足2( 1) ,1n nnSan ()写出数列 na的前 3 项;,321aaa ()求数列 na的通项公式解：
