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1、1用导数法求几类参数问题用导数法求几类参数问题导数及其思想方法是中学数学新增的内容，是中学数学知识的一个重要交汇点。纵观近几年的高考试题和各地的模拟试题，运用导数法求参数范围，是高考命题一个的新趋向，以此考查学生的函数方程、分类讨论和数形结合思想、代数推理能力、不等式技能及创新意识。下面举例探讨几类参数问题的导数求法，以展示导数的工具作用。一、与函数单调性有关的一、与函数单调性有关的参数问题参数问题例 1、 （2004 全国，文 19）已知在 R R 上是减函数，求的取值范围.13)(23xxaxxfa解：函数f(x)的导数： . 163)(2xaxxf则 （）时，是 R R 上是减函数0)(
2、 xfRx)(xf)(01632Rxxax. 3012360aaa且所以，当是减函数； )(, 0)(,3Rxxfxfa知由时所求的取值范围是（ a.3,评注：对三次函数求导，利用导函数为二次函数特点、结合二次函数的性质得以解决，体现了导数处理函数单调性的优点。我们把问题一般化：三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d （a0）(x)=3ax2+2bx+c f 若 f(x)在 R 上是增函数(x)0，则 a0,且 0; f 若 f(x)在 R 上是减函数(x)0，则 a若 f(x)在 R 上无极值点0若 f(x)在 R 上有极值点0三、与方程有关的三、与方程有关的参数问题参数问题例 4、若
3、关于 x 的方程 x3-3x=a 有 3 个互不相等的实根，求实数 a 的取值范围。 解：设 f(x)= x3-3x,y=a,3x2-3=3(x-1)(x+1)(xff(x)在（，1）上单调递增，在-1,1上单调递减，(1,+)单调递增f(x) 极小值2，f(x) 极大值2要使直线 y=a 与函数 f(x)的图像有 3 个相异的交点，只需 a(-2,2)评注：通过构造函数，用导数求函数的极值，数形结合把问题巧妙解决。例 5、( 2005 全国卷 III，理 22) 已知函数， 247 2xf xx 01x，（）求的单调区间和值域； f x（）设，函数 g(x)=x3-3a2x-2a, ，若对于
4、任意，总存1a 01x， 101x ，在，使得成立，求的取值范围 001x ， 01g xf xa解：（）易求 的值域为 f x43，（）对函数求导，得 g x 223gxxa，因此，当时， 1a 01x， 23 10gxa，因此当时，为减函数，从而 01x， g x 10g xgg，又，即当时有 211 23gaa 02ga 1x 0，4 21232g xaaa，任给，存在使得，则 11x 0， 143f x ， 001x ， 01g xf x，即2123243aaa ，21 2341232aaa （）（）解式得 或，解式得 ，又，1（）1a 5 3a 2（）3 2a 1a 故：的取值范围为
5、a312a评注：运用导数工具，理解方程内涵，自觉转化为集合观点思考问题、解决问题。四、与不等式有关的四、与不等式有关的参数问题参数问题例 6、(05 浙江五校) 若存在正实数 x，使不等式成立，求实数 k 的取值范围。)1ln(1ln xkx xx 解：要使不等式成立，即 lnk0；当 x1 时0,x=1 时，y=+ ln(1+x)- lnx 取最yyxx 1ln大值为 ln2,ln2lnk 时，存在正实数 x，使原不等式成立，即 0k2变式：对任意的正实数 x，使不等式恒成立，求实数 k 的取值范)1ln(1ln xkx xx 围。简析：lnk+ ln(1+x)- lnx 恒成立，lnkymax= ln2,k2xx 1ln评注：对于不等式中存在性问题和恒成立问题向来是数学的难点之一，我们通过变量分离（或二次方程根的分布） 、构造函数运用导数求出函数的最值，从而把问题巧妙解决综上可知，运用导数法求有关的参数问题，体现了导数的工具性、现代性，使中学数学解题增添了新的活力。强化导数的应用意识，善于用等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，不断提高解题的综合能力。1
