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1、2014年第12期 福建中学数学 21 基于核心 置顶探究 基于核心 置顶探究 一道椭圆伴随圆问题的变式探究历程 周 翔 福建省厦门第一中学（361004） 学习数学离不开解题，解题历来就被公认为是 数学学习中最富有特征的一项活动，而解题后的研 究和反思工作，则显得更加重要R柯朗在数学 是什么？的序言中有这样一段话：“学生和教师若 不试图从数学的形式和单纯的演算中跳出来，以掌 握数学的本质或关键特征，那么挫折和迷惑将变得 更为严重”特别是在解析几何复习教学中，应基于 问题的核心关键式，将题目内在的探究价值放大到 极致，最终达到所冀望的思维深度训练的效果 一般说来，探究活动可从以下三个层面进行：
2、 挖掘题目的类比价值，即改换问题中相应的 几何要素(点、直线、曲线)，形成新的背景，培养学 生发散思维； 挖掘题目的拓展价值，即将问题结论作一般 性进行推广，培养学生归纳能力； 挖掘题目的指导价值，即将问题的分析和解 决的方法形成规律推广，培养学生创新思维 本文从一道有关椭圆伴随圆的题目入手，开启 变式探究之旅 例例 1 （2013 年厦门一中高三 3 月模拟题）如图1，已知椭圆2 2:13xCy+=，称圆心在原点O、半径为 2 的圆是椭圆C的“伴 随圆”若点P是椭圆C“伴随圆”上一 动点， 过点P作直线1l，2l， 使得1l，2l与椭圆C都只有一个公共点， 当1l，2l斜率都存在 （记为1k
3、，2k）时，求证：12ll(即121kk= ) 简析简析 先设00()P xy，以及过P的椭圆切线方程00()yk xxy=+， 联立椭圆方程后， 由判别式等于 0，建立切线斜率 k 满足的二次方程， 最后根据韦达定理容易得到：2 0 122 0113ykkx= 本题（特殊）情况下的核心关键式，于是证得结论 探究探究 1 探规律，突出一般化思维探规律，突出一般化思维 本题可视作一个新定义的问题所谓椭圆的伴 随圆意指与给定椭圆相关的圆这样的伴随圆一般 具有某种特质，其方程随着椭圆方程的确定而确定 考虑到本题中222ab+=，可作一般化推广 结论结论 1 若点P是椭圆2222:1(0)xyCaba
4、b+= 的伴随圆2222xyab+=+上一动点， 过点P作直线1l，2l，使得1l，2l与椭圆C都只有一个公共点，当1l，2l斜率都存在（记为1k，2k）时，有12ll (即12kk= 1) 证明证明 设点00()P xy，其中2222 00xyab+=+， 再设经过点00()P xy， 与椭圆只有一个公共点的直线为 00()yk xxy=+， 由002222()1ykxykxxy ab=+=，消去y得到222222 00()0b xakxykxa b+=， 即2222222 0000()2()()ba kxa k ykxxaykx+ 220a b=， 22 002()a k ykx = 22
5、22222 004 ()()0ba kaykxa b +=， 经过化简得到：22222 0000()20axkx y kby+=，该方程两根即为1k，2k，故22 0 1222 0bykkax=（*） 一般情况下的核心关键式 2222 00xyab+=+，2222 00xaby=， 代入（*）式可得121kk= ，即1l，2l相垂直 评注评注 从特殊到一般改造核心关键式，从而把握 问题条件与结论间的内在关联和参数变化过程中的 不变规律 探究探究 2 巧置换，突出逆向思维巧置换，突出逆向思维 逆向思维，即是从问题的结论入手倒推应满足 的条件显然，上述命题的逆命题也成立，即： 结论结论 2 P是平
6、面内的动点，过P点引椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两条切线1l，2l， 若1l，2l互相垂直，则点P的轨迹是一个圆，其方程为2222xyab+=+ OxyP图 122 福建中学数学 2014年第12期 证明证明 参照结论 1 的证明过程， 1）当点P坐标不为()ab，时，切线1l，2l斜率都存在，将条件121kk= 代入（*）式，得到22 0 22 01by ax= ，故2222 000()xyabxa+=+ ； 2） 当点P为()ab，时， 经验证12ll仍然成立 综上所述，点P的轨迹方程为2222xyab+=+ 评注评注 通过“反其道而思之”，将原问题由定值 探索视角转换为轨迹
7、探求视角，使问题的面貌焕然 一新 探究探究 3 寻恒量，突出定值思维寻恒量，突出定值思维 定值问题是解析几何探索研究的重点和热点之 一在结论 1 的基础上，将动点P所处的位置由圆 适当放宽，引导学生考察“当点P在怎样的图形上运 动时，12kk为定值？定值又是多少呢？” 学生不难想到根据结论 1 的证明过程，令2222 00()bym xa=， 代入核心关键式 （*） 进行约简，最终得到12kk为定值m于是整理得到以下命题： 结论结论 3 若点P是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的伴随曲线2222:M mxymab+=+（位于椭圆C外的部分）上的一动点，过点P作直线1l，2l，使得1l，
8、2l与椭圆C都只有一个公共点，当1l，2l斜率都存在（记为1k，2k）时，有12kkm= （定值） 评注评注 从结论的关联性来看，结论 1 是结论 3 的 特例（1m =） ；从存在性的角度来看，任何椭圆按照 上述方式定义的伴随曲线 M 都是存在的， 且定值m 的值随着伴随曲线M方程的确定而唯一确定；而进 一步分门别类发现，伴随曲线M的形式可以是两条直线（当22bma= 或 0 时，但只取在椭圆C外的部分） ；圆（当1m =时） ；椭圆（当0m 且1m 时） ，双曲线（当0m ，由于双曲线与椭圆的标准方程形式上仅一符号之别， 则仿照结论 1 的推导过程， 用2b替代2b可以快速得 到结论 1
9、中的核心关键式（*）的变形形式：2222 00 122222 00bybykkaxax=，显然要使上式为定值r，只需满足2222 00()byr xa+=， 则相应点P的轨迹方程为2222rxyrab=+，由该轨迹方程形式可以看出，只有当0r 或220 0r rab，伴随曲线M方程为2222rxyrab=+（其中0r 或2200rrab ，） ，存在伴随曲线22:M txytA+=+ B（其中0t +，或00tB= ，） ，P是伴随曲线M上一动点，过点P若能作出直线1l，2l，使得1l，2l与曲线C都相切，则当1l，2l斜率1k，2k都存在时，有12kkt= （定值） 评注评注 一般性结论的诞
10、生并不是围绕着已有结 论和核心关键式的简单数字游戏，往往需要经过对 约束条件的反复缜密思考与呈现形式的千锤百炼， 这是培养学生抽象概括能力，增进解题感悟，体验 科学研究手段的良机！ 探究 1探究 4 的设计实现了多维探究的“四 个化”条件一般化，思维逆向化，类型多样化， 规律共性化 探究探究 5 仿操作，突出迁移思维仿操作，突出迁移思维 著名数学教育家哈尔莫斯说过:“问题是数学的 心脏”那么探究应该是深入解决数学问题的重要手 段探究的要旨绝对不是简单的旧瓶换新装，而是 基于问题解决“核心理念”的再创造过程 要让问题成 为富有生命力的创新之源 无独有偶，2013 年厦门高三数学质检同样也命 出了
11、一道有关伴随曲线（椭圆）的问题： 例例 2 如图 3，过椭圆222:182xyC+=上任意一点00()P xy，作椭圆2 2 1:12xCy+=的两条切线PM和PN，切点分别为M，N当点P在椭圆2C上运动时，存在定圆恒与直线MN相切 评析评析 本题内含三条直线、三条曲线，对学生的 分析、综合能力的要求较高 本题核心关键式： O到MN的距离 2 20 012 24d xy=+（*） ； 结论结论 存在定圆221 2xy+=恒与直线MN相切 反思反思 本题中的椭圆2C同样可视为椭圆1C的伴随椭圆，只不过伴随属性由前面的“过动点引两条切线斜率之积为定值”演化成“椭圆1C的切点弦与定圆相切”而已，故例
12、 2 可视为例 1 的变式延伸在讲评 此题时， 笔者趁热打铁， 让学生继续运用上述“四化” 手段展开针对核心关键式（*）的再探究，收获了 更为精彩的一般性结论 结论结论 5.1 设椭圆22122:1(0)xyCabab+=，点P是其伴随椭圆2224421:(0)xyCk abkabb+=，上的点，过P作椭圆1C的两条切线PM和PN，切点分别为M，N当点P在2C上运动时，存在定圆22xy+ 1 k=恒与直线MN相切 结论结论 5.2 设椭圆22122:1(0)xyCabab+=，点P是椭圆1C外的一个动点，过P作椭圆1C的两条切线PM和PN，切点分别为M，N满足直线MN恒与定圆22 211()x
13、ykkb+=相切则点P的轨迹为椭圆2224421:(0)xyCk abkabb+=， 评注评注 随着探究活动的逐渐深入，教师应充分尊 重学生的探究主体地位，适时退居幕后，而将探究 的主动权和发言权交给学生，鼓励他们不断利用自 己的理解建构起知识与方法之间的联系学生思维 活跃，不受束缚，往往会收到意想不到的探究效果， 这也正是课标课程所倡导的“积极主动，勇于探索， 敢于创新”的要旨所在吧 体会体会 通过基于问题核心，层层递进的探索，真 理和创新的大门逐渐被打开了，我们终于看到了宝 藏一类圆锥曲线问题或现象的内在规律正如 美国著名教育家 G波利亚说的： “一个专心的认真备 课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题 目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这 道题，就好象通过一道门户，把学生引入一个完整 的理论领域 ” 特别是在高三复习教学中， 作为教师 应该找准题根，借“题”发挥，对问题展开全方位、多 角度的探究通过“探中抽知，串知成链”，达到“联 知编网、动态生成”的复习课教学目标，展现数学人 对问题核心价值的不懈追求 参考文献参考文献 1R柯朗，H罗宾数学是什么? (中译本)北京：科学出版社1985 OM NP xy图 3
