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1、2014年第12期 福建中学数学 21 基于核心 置顶探究 基于核心 置顶探究 一道椭圆伴随圆问题的变式探究历程 周 翔 福建省厦门第一中学(361004) 学习数学离不开解题,解题历来就被公认为是 数学学习中最富有特征的一项活动,而解题后的研 究和反思工作,则显得更加重要R柯朗在数学 是什么?的序言中有这样一段话:“学生和教师若 不试图从数学的形式和单纯的演算中跳出来,以掌 握数学的本质或关键特征,那么挫折和迷惑将变得 更为严重”特别是在解析几何复习教学中,应基于 问题的核心关键式,将题目内在的探究价值放大到 极致,最终达到所冀望的思维深度训练的效果 一般说来,探究活动可从以下三个层面进行:
2、 挖掘题目的类比价值,即改换问题中相应的 几何要素(点、直线、曲线),形成新的背景,培养学 生发散思维; 挖掘题目的拓展价值,即将问题结论作一般 性进行推广,培养学生归纳能力; 挖掘题目的指导价值,即将问题的分析和解 决的方法形成规律推广,培养学生创新思维 本文从一道有关椭圆伴随圆的题目入手,开启 变式探究之旅 例例 1 (2013 年厦门一中高三 3 月模拟题)如图1,已知椭圆2 2:13xCy+=,称圆心在原点O、半径为 2 的圆是椭圆C的“伴 随圆”若点P是椭圆C“伴随圆”上一 动点, 过点P作直线1l,2l, 使得1l,2l与椭圆C都只有一个公共点, 当1l,2l斜率都存在 (记为1k
3、,2k)时,求证:12ll(即121kk= ) 简析简析 先设00()P xy,以及过P的椭圆切线方程00()yk xxy=+, 联立椭圆方程后, 由判别式等于 0,建立切线斜率 k 满足的二次方程, 最后根据韦达定理容易得到:2 0 122 0113ykkx= 本题(特殊)情况下的核心关键式,于是证得结论 探究探究 1 探规律,突出一般化思维探规律,突出一般化思维 本题可视作一个新定义的问题所谓椭圆的伴 随圆意指与给定椭圆相关的圆这样的伴随圆一般 具有某种特质,其方程随着椭圆方程的确定而确定 考虑到本题中222ab+=,可作一般化推广 结论结论 1 若点P是椭圆2222:1(0)xyCaba
4、b+= 的伴随圆2222xyab+=+上一动点, 过点P作直线1l,2l,使得1l,2l与椭圆C都只有一个公共点,当1l,2l斜率都存在(记为1k,2k)时,有12ll (即12kk= 1) 证明证明 设点00()P xy,其中2222 00xyab+=+, 再设经过点00()P xy, 与椭圆只有一个公共点的直线为 00()yk xxy=+, 由002222()1ykxykxxy ab=+=,消去y得到222222 00()0b xakxykxa b+=, 即2222222 0000()2()()ba kxa k ykxxaykx+ 220a b=, 22 002()a k ykx = 22
5、22222 004 ()()0ba kaykxa b +=, 经过化简得到:22222 0000()20axkx y kby+=,该方程两根即为1k,2k,故22 0 1222 0bykkax=(*) 一般情况下的核心关键式 2222 00xyab+=+,2222 00xaby=, 代入(*)式可得121kk= ,即1l,2l相垂直 评注评注 从特殊到一般改造核心关键式,从而把握 问题条件与结论间的内在关联和参数变化过程中的 不变规律 探究探究 2 巧置换,突出逆向思维巧置换,突出逆向思维 逆向思维,即是从问题的结论入手倒推应满足 的条件显然,上述命题的逆命题也成立,即: 结论结论 2 P是平
6、面内的动点,过P点引椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两条切线1l,2l, 若1l,2l互相垂直,则点P的轨迹是一个圆,其方程为2222xyab+=+ OxyP图 122 福建中学数学 2014年第12期 证明证明 参照结论 1 的证明过程, 1)当点P坐标不为()ab,时,切线1l,2l斜率都存在,将条件121kk= 代入(*)式,得到22 0 22 01by ax= ,故2222 000()xyabxa+=+ ; 2) 当点P为()ab,时, 经验证12ll仍然成立 综上所述,点P的轨迹方程为2222xyab+=+ 评注评注 通过“反其道而思之”,将原问题由定值 探索视角转换为轨迹
7、探求视角,使问题的面貌焕然 一新 探究探究 3 寻恒量,突出定值思维寻恒量,突出定值思维 定值问题是解析几何探索研究的重点和热点之 一在结论 1 的基础上,将动点P所处的位置由圆 适当放宽,引导学生考察“当点P在怎样的图形上运 动时,12kk为定值?定值又是多少呢?” 学生不难想到根据结论 1 的证明过程,令2222 00()bym xa=, 代入核心关键式 (*) 进行约简,最终得到12kk为定值m于是整理得到以下命题: 结论结论 3 若点P是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的伴随曲线2222:M mxymab+=+(位于椭圆C外的部分)上的一动点,过点P作直线1l,2l,使得1l,
8、2l与椭圆C都只有一个公共点,当1l,2l斜率都存在(记为1k,2k)时,有12kkm= (定值) 评注评注 从结论的关联性来看,结论 1 是结论 3 的 特例(1m =) ;从存在性的角度来看,任何椭圆按照 上述方式定义的伴随曲线 M 都是存在的, 且定值m 的值随着伴随曲线M方程的确定而唯一确定;而进 一步分门别类发现,伴随曲线M的形式可以是两条直线(当22bma= 或 0 时,但只取在椭圆C外的部分) ;圆(当1m =时) ;椭圆(当0m 且1m 时) ,双曲线(当0m ,由于双曲线与椭圆的标准方程形式上仅一符号之别, 则仿照结论 1 的推导过程, 用2b替代2b可以快速得 到结论 1
9、中的核心关键式(*)的变形形式:2222 00 122222 00bybykkaxax=,显然要使上式为定值r,只需满足2222 00()byr xa+=, 则相应点P的轨迹方程为2222rxyrab=+,由该轨迹方程形式可以看出,只有当0r 或220 0r rab,伴随曲线M方程为2222rxyrab=+(其中0r 或2200rrab ,) ,存在伴随曲线22:M txytA+=+ B(其中0t +,或00tB= ,) ,P是伴随曲线M上一动点,过点P若能作出直线1l,2l,使得1l,2l与曲线C都相切,则当1l,2l斜率1k,2k都存在时,有12kkt= (定值) 评注评注 一般性结论的诞
10、生并不是围绕着已有结 论和核心关键式的简单数字游戏,往往需要经过对 约束条件的反复缜密思考与呈现形式的千锤百炼, 这是培养学生抽象概括能力,增进解题感悟,体验 科学研究手段的良机! 探究 1探究 4 的设计实现了多维探究的“四 个化”条件一般化,思维逆向化,类型多样化, 规律共性化 探究探究 5 仿操作,突出迁移思维仿操作,突出迁移思维 著名数学教育家哈尔莫斯说过:“问题是数学的 心脏”那么探究应该是深入解决数学问题的重要手 段探究的要旨绝对不是简单的旧瓶换新装,而是 基于问题解决“核心理念”的再创造过程 要让问题成 为富有生命力的创新之源 无独有偶,2013 年厦门高三数学质检同样也命 出了
11、一道有关伴随曲线(椭圆)的问题: 例例 2 如图 3,过椭圆222:182xyC+=上任意一点00()P xy,作椭圆2 2 1:12xCy+=的两条切线PM和PN,切点分别为M,N当点P在椭圆2C上运动时,存在定圆恒与直线MN相切 评析评析 本题内含三条直线、三条曲线,对学生的 分析、综合能力的要求较高 本题核心关键式: O到MN的距离 2 20 012 24d xy=+(*) ; 结论结论 存在定圆221 2xy+=恒与直线MN相切 反思反思 本题中的椭圆2C同样可视为椭圆1C的伴随椭圆,只不过伴随属性由前面的“过动点引两条切线斜率之积为定值”演化成“椭圆1C的切点弦与定圆相切”而已,故例
12、 2 可视为例 1 的变式延伸在讲评 此题时, 笔者趁热打铁, 让学生继续运用上述“四化” 手段展开针对核心关键式(*)的再探究,收获了 更为精彩的一般性结论 结论结论 5.1 设椭圆22122:1(0)xyCabab+=,点P是其伴随椭圆2224421:(0)xyCk abkabb+=,上的点,过P作椭圆1C的两条切线PM和PN,切点分别为M,N当点P在2C上运动时,存在定圆22xy+ 1 k=恒与直线MN相切 结论结论 5.2 设椭圆22122:1(0)xyCabab+=,点P是椭圆1C外的一个动点,过P作椭圆1C的两条切线PM和PN,切点分别为M,N满足直线MN恒与定圆22 211()x
13、ykkb+=相切则点P的轨迹为椭圆2224421:(0)xyCk abkabb+=, 评注评注 随着探究活动的逐渐深入,教师应充分尊 重学生的探究主体地位,适时退居幕后,而将探究 的主动权和发言权交给学生,鼓励他们不断利用自 己的理解建构起知识与方法之间的联系学生思维 活跃,不受束缚,往往会收到意想不到的探究效果, 这也正是课标课程所倡导的“积极主动,勇于探索, 敢于创新”的要旨所在吧 体会体会 通过基于问题核心,层层递进的探索,真 理和创新的大门逐渐被打开了,我们终于看到了宝 藏一类圆锥曲线问题或现象的内在规律正如 美国著名教育家 G波利亚说的: “一个专心的认真备 课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题 目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这 道题,就好象通过一道门户,把学生引入一个完整 的理论领域 ” 特别是在高三复习教学中, 作为教师 应该找准题根,借“题”发挥,对问题展开全方位、多 角度的探究通过“探中抽知,串知成链”,达到“联 知编网、动态生成”的复习课教学目标,展现数学人 对问题核心价值的不懈追求 参考文献参考文献 1R柯朗,H罗宾数学是什么? (中译本)北京:科学出版社1985 OM NP xy图 3