《2009湖南高考理科数学试题及答案高清可编辑》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2009湖南高考理科数学试题及答案高清可编辑（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20092009 湖南高考理科数学试题及答案湖南高考理科数学试题及答案 高清可编辑高清可编辑20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (湖南卷湖南卷) )理科数学理科数学一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1若2log0a ，1( )12b，则【 D 】A1a ,0b B1a ,0b C. 01a, 0b D. 01a, 0b 2对于非零向量, ,a b “0ab ”是“/
2、 /ab ”的【 A 】A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数sinyx的图象向左平移(02 )个单位后，得到函数sin()6yx的图象，则等于【 D 】A6B5 6C. 7 6D.11 64如图 1，当参数12, 时，连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C , 则【 B 】A 120 B 210C 120 D 2105从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】A 85 B 56 C 49 D 286已知 D 是由不等式组20,30xyxy 所确定的平面
3、区域，则圆224xy在区域 D 内的弧长为【 B 】图 1c2c1oyxC1D1B1A1DCBAA4B2C3 4D3 27正方体1111ABCDABC D的棱上到异面直线 AB，C1C的距离相等的点的个数为【 C 】A2 B3 C 4 D58设函数( )yf x在(,) 内有定义.对于给定的正数 K，定义函数( ),( ),( ),( ).Kf xf xKfxKf xK取函数( )f x 2xxe。若对任意的(,)x ，恒有( )Kfx ( )f x，则【 D 】AK 的最大值为 2 BK 的最小值为 2CK 的最大值为 1 DK 的最小值为 1二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7
4、 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3535 分，把答案填在答题卡中对应题号后的分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上横线上9某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _.10在3333(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为_7_(用数字作答).11若(0,)2x，则2tantan()2xx的最小值为 2 2 .12已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60，则双曲线 C 的离心率为 6 213一个总体分为 A，B 两层，其个体数
5、之比为 4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为1 28，则总体中的个体数为 40 。14在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ；（2）过，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 3 .15将正ABC分割成2*(2,)n nnN个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别依次成等差数列.若顶点
6、 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为( )f n，则有(2)2f，(3)f10 3， ，( )f n 1(1)(2)6nn .BACABC图3图2三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本小题满分 12 分）在ABC中，已知2233AB ACABACBC ，求角 A，B，C 的大小解： 设,BCa ACb ABc由23AB ACABAC 得2cos3bcAbc，所以3cos2A .又(0, ),A因此6A 由233ABACBC 得23
7、bca，于是23sinsin3sin4CBA.所以53sinsin()64CC，133sin( cossin)224CCC，因此22sincos2 3sin3,sin23cos20CCCCC，既sin(2)03C.由6A知506C，所以42333C，从而20,3C或2,3C，既,6C或2,3C故2,636ABC或2,663ABC。17（本小题满分 12 分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的1 2，1 3，1 6.现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概
8、率；（II）记为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解: 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,iiiA B Ci=1，2，3.由题意知123,A A A相互独立，123,B B B相互独立，123,C C C相互独立，,ijkA B C（i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且111(), (), ().236iiiP AP BP C（）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=1233! ()P AB C1236 () () ()P A P B P C11116.2366（）解法 1：设
9、3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知， :B（3，1 3），且=3-。所以 P（=0）=P（=3）=33 31( )3C=1 27，P（=1）=P（=2）=2 3C 21( )32( )3=2 9，P（=2）=P（=1）=1 3C1( )322( )3=4 9，P（=3）=P（=0）= 0 3C 32( )3= 8 27.故的分布列是0123P1 272 94 98 27的数学期望 E=1027+219+429+8327=2.解法 2: 记第i名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件iD，i=1,2,3 . 由已知，123,D D D相互独立，且 P（iD）=（iiA
10、C）= P（iA）+P（iC）=1 2+1 6=2 3，所以:2(3, )3B,即3 321()( ) ( )33kkkPkC，0,1,2,3.k 故的分布列是0123P1 272 94 98 2718（本小题满分 12 分）如图 4，在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，点 D 是11AB的中点，点 E 在11AC上，且DEAE（I）证明：平面ADE 平面11ACC A；（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。解：（I） 如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA 平面111ABC.又 DE平面111ABC，所以 DE1AA.而 DEAE，1AAAE=A，所以 DE平
11、面11ACC A.又 DE平面 ADE，故平面ADE 平面11ACC A（2）解法解法 1 1： 如图所示，设 F 是 AB 的中点，连接DF，DC1，C1F，由正三棱柱111ABCABC的性质及 D 是11AB的中点知，11ABC1D，11ABDF又 C1DDF=D，所以11AB平面 C1DF.而 AB11AB，所以 AB平面 C1DF.又 AB平面 ABC1，故平面 AB C1平面 C1DF。过点 D 做 DH 垂直 C1F 于点 H，则 DH平面 AB C1。连接 AH，则HAD 是 AD 和平面 ABC1所成的角。ABCDA1B1C1EABCDA1B1C1EFH由已知 AB=2A A1
12、，不妨设 A A1=2，则 AB=2，DF=2，D C1=3，C1F=5，AD=22 11AAAD=3，DH=FCDCDF11=532 =530.所以 sinHAD=ADDH=510。即直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为510.解法解法 2 2： 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A1=2，则 AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（3，0，0）， C1（0，1，2）， D（23，1 2，2）。易知AB=(3，1，0)， 1AC=(0，2，2)， AD=(23，1 2，2）.设平面 ABC1的法向量为( , , )n
13、x y zr ,则有130,220.n ABxyn ACyz 解得3,2 .3xy zy 故可取(1,3,6)n r .所以，cos,n ADn AD nAD r uuu rr uuu r ruuu r=31032=510。由此即知，直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为510。19（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y万元。（）试写出y
14、关于x的函数关系式；ABCDA1B1C1Exozy（）当m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：（）设需新建n个桥墩，则(1)1mnxmx，即n=，所以( )yf x(2)mmxx xxx=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+2562256.mm xmx（）由（）知，213 22 22561( )(512).22mmfxmxxxx 令( )0fx ，得3 2512x ，所以x=64.当 00. ( )f x在区间（64，640）内为增函数.所以( )f x在x=64 处取得最小值，此时640119.64mnx 故需新建 9 个桥墩才能使y最小。20（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d. 当点 P 运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和（）求点 P 的轨迹 C；（）设过点 F 的直线l与轨迹 C 相交于 M
