静电场的边值问题

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1、第三章 静电场的边值问题 主 要 内 容：电位微分方程（泊松方程、拉普拉斯方程），三类边值 问题，镜像法，分离变量法。3-1 电位微分方程已知，电位 与电场强度 E 的关系为 对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为 1.泊松方程和拉普拉斯方程1那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 该方程称为泊松方程。 对于无源区，上式变为 上式称为拉普拉斯方程。 2.边值问题静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及 拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求 解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。2通常给定的边界条件有三种类型：第一类

2、边界条件给定的是边界上的电位，这种边值问题又称为狄利克雷问题。第二类边界条件是给定边界上电位的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的电位及另一部分边界上电 位的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的 法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。 因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性

3、定理。该定理适用于 非线性介质。3证明唯一性定理： （反证法）设静电场存在的区域为V，其边界表面为S，如果在给定的第一类或第 二类边界条件时，V中存在两个电位 及 均满足泊松方程，即令： ，则有利用第一标量格林定理， 并令 ，有1、如给定边界的电位，即边界S上的电位差即为0。则即 所以， 区域V中不可能存在两个电位。得证。2、如给定边界的电位的法向导数，同理可证。43-2 镜像法 实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改

4、变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：边界必须是封闭的，才有可能确定其镜像电荷。 镜像法是求解静电场问题的一种方法。51. 点电荷与无限大的导体平面。 介质 导体 q r P 介质 q r P（x,y,z） hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即 考虑到无限大导体平面的电位为零，求得在平面边界上任一点, 有6电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同

5、。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线z 7电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。8q对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的

6、电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。 /3 /3q连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。 9fqo（2）点电荷与导体球面。 Padr q若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q 位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点电位为 为了确定q 和 d，则有 另外，比值 对球面上任一点必须具有同一数值。因此，10镜像电荷离球心的距离d 应为 这样，球外空间任一点的电位为 fqOP adr q由此获知镜像电荷的大小在球坐标系下考虑，球心为原点，z 轴与oq重合，则可求得球外

7、任一点的电场强度同样的，总的感应电荷等于镜像电荷。11若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷 q 后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q“，且必须令显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q“ 必须位于球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及q在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“ 以提供一定的电位。球外空间任意点的电位由这三个电荷共同决定。12l（3）无限长线电荷与无限长带电的导体圆柱面。 Pafd

8、r -lO在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像线电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为 以圆柱表面为电位参考点，则柱外任意点的电位表示为13对于柱面上任意一点P（a，），有由边界条件 ，可求得柱外任意点的电位为14（4）点电荷与无限大的介质平面。 E 1 1qr0EEtEnq 2 2q“E“ 1 2qeten=+为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的q“ 等效原来的点电荷q 与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的均匀空间。 15但是，必须迫使所求得的

9、场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：16镜像法n 依据：惟一性定理n 实质：用镜像电荷代替感应电荷的作用n 要点： 镜像电荷在求解区域之外引入镜像电荷后，非均匀空间变成了无限大的均匀空间n 关键：确定镜像电荷的大小和位置17例 3-3-1 已知同轴线的内导体半径为a，电位为U，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。 解 对于这种边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱

10、坐标系中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电位微分方程为求得V baO18利用边界条件：求得最后求得19从以上求解静电场边值问题的方法来看，镜像法求解方便，但有局限性。对于同轴线的静电场边值问题的求解。其电位函数仅与一个坐标变量 r 有关，也就是说，原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。应用分离变量法，关键的问题是选择适当的坐标系。203-4 直

11、角坐标系中的分离变量法 无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 令代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得 显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，上式若成立，各项必分别等于一个常数，而三个常数之和为0，即各项分别设为 ，可以写出下三个方程。21式中kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量 x 的常微分方程的通解为或者式中A, B,

12、C, D为待定常数。22分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令 ，则上述通解变为 或者含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。 23例3-4-1 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。 Odxy = 0 = 0 = 0解 选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个二维场的问

13、题。电位所满足的拉普拉斯方程变为 24应用分离变量法，令根据题意，槽中电位应满足的边界条件为为了满足 及 边界条件，应选 Y(y) 的解为 因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 B = 0。为了满足边界条件 ，分离常数 ky 应为 25求得已知 ，求得可见，分离常数 kx 为虚数，故 X(x) 的解应为因为 x = 时，电位 0 ，因此，式中常数 C = 0，即那么，式中常数 C n= AnDn 。26为了满足 x = 0， = 0 边界条件，由上式得 上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数Cn为最后求得槽中电位分布函数为 式中 。 270dxy = 0 =

14、0 = 0电场线等位面电场线及等位面分布如下图示：283-5 圆柱坐标系中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 令其解为 代入上式求得上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项及第三项与 无关，因此将上式对 求导，得知第二项对 的导数为零，可见第二项应为常数，令 29即式中 k 为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围为，那么此时场量随 的变化一定是以2 为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数k 一定是整数，以保证函数的周期为2。令，m 为整数，则上式的解为式中A, B 为待定常数。 考虑到 ，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为30上式左边第一项仅为变

15、量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令 即式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，指数函数或双曲函数。当 kz 为实数时，可令 式中C, D 为待定常数。 将变量 z 方程代入前式，得 31上式为柱贝塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，即 至此，我们分别求出了R(r) ,() , Z(z) 的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。 式中E, F 为待定常数, 为 m 阶第一类柱贝塞尔函数， 为m阶第二类柱贝塞尔函数。根据第二类柱贝塞尔函数的特性知，当r = 0 时， 。因此，当场存在的区域包括 r = 0 时，此时只能取第一类柱贝塞尔函数作为方程的解。 32若所讨论的静电场与变量 z 无关，则分离常数 。那么电位微分方程变为此方程的解为指数函数，即 若所讨论的静电场又与变量 无关，则 m = 0。那么，电位