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1、1第第 2323 讲讲 解三角形应用举例解三角形应用举例解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东 40，灯塔B在观察站南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的( B B )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 10 D南偏西 10解析 依题意作出图形可知，A在B北偏西 10的地方.2有一长为 1 千米的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为 10，则斜坡长为( C C )A1 千米B2sin 10 千米C2cos 10 千米Dcos 20 千米解析 由
2、题意知DCBC1，BCD160，BD2DC2CB22DCCBcos 16011211cos(18020)22cos 204cos210，BD2cos 10.3一艘海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40方向直线航行，30 分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是( A A )A10 海里 B10 海里23C20 海里 D20 海里32解析 如图所示，易知，在ABC中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)，故选 ABC sin 30AB sin
3、 45224要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 米，则电视塔的高度是( D D )A100 m B400 m2C200 m D500 m3解析 由题意画出示意图，设塔高ABh m，在 RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理3BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得 3h2h25002h500，解得h500(m).5长为 3.5 m 的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的
4、一端A在离堤足C 14 m 的地面上，另一端B在离堤足C处的 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值 tan ( A A )A B 23155 16C D2311611 5解析 由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC14 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521422.822142.8cos()，解得 cos ，所以 sin 5 16，所以 tan .23116sin cos 23156(2018四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为 30，45，且A，
5、B两点间的距离为 60 m，则该建筑物的高度为( A A )3A(3030) mB(3015) m33C(1530) m D(1515) m33解析 设建筑物高度为h，则60，即(1)h60，h tan 30h tan 453所以建筑物的高度为h(3030)m.3二、填空题7一艘船上午 9：30 在A处测得灯塔S在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东 75处，且与它相距 8 n mile，此船的航速是 32 n mile/h.2解析 设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，1 2BS8 n mile，BSA45，2
6、由正弦定理，得，v32 n mile/h.8 2sin 301 2v sin 458某人在地上画了一个角BDA60，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10 米后，拐弯往另一边的方向行走 14 米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为 16 米 .解析 如图，设DNx米，则 142102x2210xcos 60，x210x960.(x16)(x6)0.x16.N与D之间的距离为 16 米.9如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75.从C点测得MCA60，已知山高BC
7、100 m，则山高MN 150 m.4解析 在ABC中，AC100，在MAC中，解得2MA sin 60AC sin 45MA100，在MNA中，sin 60，故MN150，即山高MN为 150 m.3MN100 332三、解答题10已知岛A南偏西 38方向，距岛A 3 海里的B处有一艘缉私艇，岛A处的一艘走私船正以 10 海里/小时的速度向岛北偏西 22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？(参考数据：sin 385 314，sin 223 314)解析 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x
8、，AC5 海里，依题意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sin ABC，ACsin BAC BC5 32 75 314所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私船.11(2018广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：A
9、CD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1(百5米). (1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离.解析 (1)连接DE，在CDE中，DCE3609015105150，SECDDCCEsin 150 sin 30 (平方百米).1 21 21 21 21 4(2)依题意知，在 RtACD中，ACDCtanADC1tan 60.3在BCE中，CBE180BCECEB1801054530.由正弦定理，得BCsin CEBsin 45.CE sin CBE1 sin 302因为 cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45 .1 22
10、232226 24连接AB，在ABC中，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcos ACB()2()222，32326 243所以AB(百米).2 36 2212(2018河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度).BCDCDE，BAE，DE3BC3CD km.2 3 39 10(1)求道路BE的长度；(2)求生活区ABE面积的最大值.6解析 (1)如图，连接BD，在BCD中，BD2BC2CD22BCCDcos BCD，27 100BD
11、km.BCCD，3 310CDBCBD，23 2 6又CDE，BDE.在 RtBDE中，2 3 2BE(km).BD2DE2(3 310)2(9 10)23 35故道路BE的长度为km.3 35(2)设ABE，BAE，AEB. 32 3在ABE中，易得 ，AB sinAEBBE sinBAE3 35sin 36 5AB sin ，AE sin .6 5(2 3)6 5SABEABAEsin sin sin 1 2 39 325(2 3)9 3251 2sin(2 6)1 49 325(km2).(1 21 4)27 31000，2.2 3 6 67 6当 2，即时，SABE取得最大值，最大值为km2，故生活区 6 2 327 3100ABE面积的最大值为km2.27 3100
