《2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.9函数模型及其应用学案文北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.9函数模型及其应用学案文北师大版（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.92.9 函数模型及其应用函数模型及其应用最新考纲考情考向分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x) b(k，b为常数且k0)k x二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)
2、指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0 且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增加的增加的增加的增长速度越来越快越来越慢相对平稳2图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有 logax0)的函数模型称为“对勾”函数模型：a x(1)该函数在(，和，)上是增加的，在，0)和(0，上是减少aaaa的(2)当x
3、0 时，x时取最小值 2，aa当x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度( )(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻( )题组二 教材改编2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )3A收入最高值与收入最低值的比是 31B结余最高的月份是 7 月C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同D前 6 个月的平均收入为 40 万元答案 D解析 由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 31，故 A 正确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 80
4、2060(万元)，故 B 正确；由题图可知，1至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确；由题图可知，前6 个月的平均收入为 (406030305060)45(万元)，故 D 错误1 63生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业1 2一个月应生产该商品数量为_万件答案 18解析 利润L(x)20xC(x) (x18)2142，1 2当x18 时，L(x)有最大值4用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔
5、墙的长度为_答案 3解析 设隔墙的长度为x(04 000 时，令 0.112x420，解得x3 750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为 3 800 元6某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_答案 1p1q1解析 设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，x1.1p1q题型一题型一 用函数图像刻画变化过程用函数图像刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图像是( )答案 B解析 vf(h)是增函数，且曲线的
6、斜率应该是先变大后变小，故选 B.2物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的5运输量)逐步提高的是( )答案 B解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图像应一直是下凸的，故选 B.3汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶
7、5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 根据图像所给数据，逐个验证选项根据图像知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率
8、比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对思维升华 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案题型二题型二 已知函数模型的实际问题已知函数模型的实际问题6典例 (1)(2017石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)
9、，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_分钟答案 3.75解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得Error!消去c化简得Error!解得Error!所以p0.2t21.5t222，所以当1 5(t215 2t22516)45 161 5(t15 4)13 16t3.75 时，p取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟15 4(2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在 0 的保鲜时间
10、是192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时答案 24解析 由题意得Error!e22k ，48 1921 4e11k ，x33 时，ye33kb(e11k)3eb1 23192 19224(小时)(1 2)1 8思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，7其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两
11、地通话6.5分钟的电话费为_元答案 4.24解析 m6.5，m6，则f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是1 20_万元答案 2 500解析 L(Q)40QQ210Q2 0001 20Q230Q2 000(Q300)22 500.1 201 20则当Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元题型三题型三 构建函数模型的实际问题构建函数模型的实际问题命题点 1 构造一次函数、二次函数模型典例 (1)某航空公司
12、规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.答案 19解析 由图像可求得一次函数的解析式为y30x570，令 30x5700，解得x19.(2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为_元答案 95解析 设每个售价定为x元，则利润y(x80)400(x90)2020(x95)2225当x95 时，y最大命题点 2 构造指数函数、对数函数模型典例 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，
13、且每年砍伐面积的百分比相等，当砍8伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ，1 4已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解 (1)设每年降低的百分比为x(00)型函数a x典例 (1)(2018 届中原名校质检)高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为 ，则同学们
14、认为最适宜的教室8 n应在( )A2 楼 B3 楼C4 楼 D8 楼9答案 B解析 由题意知同学们总的不满意度yn 24，8 nn8 n2当且仅当n ，即n2时等号成立，8 n2又当n3 时，不满意度y的值比n2 时不满意度y的取值小，同学们认为最适宜的教室应在 3 楼(2)(2017南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9平方米，3且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长3的和)为y米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤
15、的腰长x_.答案 23解析 由题意可得BC ，18 xx 2y26.18 x3x 218 x3x 23当且仅当(2x0，解得x2.3，x为整数，3x6，xZ Z.10当x6 时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有 3x268x115185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制跟踪训练 (1)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为x(xN N)件当x20 时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则
