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1、工程计算工程计算研究论研究论 文文学校：专业：信息与计算科学班级：11 信息姓名：学号：摘要摘要 科学研究和工程技术中的许多问题均需建立偏微分方程的数学模型。但是除少数特殊情况外，绝大多数偏微分方程问题均难以求出精确解。因此，近似解法就显得尤为重要。而差分法就是一种常用的求偏微分方程近似解的方法。另外，以法国著名数学家和天文学家-拉普拉斯(Laplace)的名字命名的拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。本文将给出一些相关的基本概念并通过使用五点差分格式对一个具体的拉普拉斯方程第一边值问题进行求解，以便读者更直观的了解差分法求解偏微分方程的过程。关键词关键词：五点差分格式；拉普拉斯
2、方程；第一边值问题；Gauss-Seidel 迭代法一、椭圆型方程一、椭圆型方程椭圆型方程最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程但特别地，当时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程：( , )0f x y 其中为 R2的一个有界区域。定解条件通常有三类：第一类边界条件（Dirichlet 边界条件）为：2222( , )( , )( , )( , )( , )x yuuf x yx yxyu x yx y 其中为以为边界的有界区域，为分段光滑曲线，称为定解区域，U，分别为，上的已知连续函数。( , )f x y( , )x y第二类和第三类边界条件可统一表示为：( ,
3、)( , )x yuux yn其中为边界的外法线方向。当时为第二类边界条件，时为第三n00类边界条件。二、差分方法二、差分方法差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点(网格点)集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组(称为差分格式)。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解(数值解
4、)。因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题：1选取网格；2对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；3. 求解差分格式；4. 讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。这里我们先在下面列出几个常用的公式：假设 g(x) 在x0+h , x0-h 上具有所需的连续导数，则由 Taylor 公式容易得到（1.1.1）和（1.1.2）式。（1.1 .1）（1.1.2）三、以三、以 Dirichlet 边值问题为例说明差分法求解的一般过程边值问题为例说明差分法求解的一般过程考虑二维 Poisson 方程 Dirichlet 边值问题：其中为简单起见，先考虑矩形区域1差分格
5、式的建立差分格式的建立将区间作 m 等分，记h1 = ( b a ) / m , xi = a + ih1 , 0I m; 将区间c , d 作 n 等分 ,记 h2 = (d c ) / n , yj = c + j h2, 0 j n. 称 h1 为 x 方向的步长 h2为 y 方向的步长。用两簇平行线x = xi 0 I my = yj 0 j n将区域剖分为 m*n 个小矩形，称两簇直线的交点 (xi , yj) 为网格结点，如下图所示：图图 1 差分网格示意图差分网格示意图记称属于的结点为内结点，称位于上的结点为边界结点，显然为方便起见，记设为h上的网格函数。记称为 v 的无穷范数。
6、在结点处考虑二维 Poisson 方程 Dirichlet 边值问题，有（1.1.3）（1.1.4）定义h上的网格函数 其中由（1.1.1） ，有将以上两式带入（1.1.3）和（1.1.4） ，可得在上式中略去小量项并用 uij代替 Uij 得到如下差分格式（1.1.5）（1.1.6）称 Rij为差分格式（1.1.5）的局部截断误差，它反映了差分格式（1.1.5）对精确解的满足程度，即 Rij为差分格式（1.1.5）用精确解代替近似解后等式两边之差记则有2.2.差分格式的求解差分格式的求解差分格式（1.1.5）和（1.1.6）是以为未知量的线性方程组。 （1.1.5）可改写为（1.1.7）记利
7、用（1.1.6）可将（1.1.7）写为（1.1.8）其中（1.1.8）可进一步写为（1.1.9）上述线性方程组的系数矩阵是一个三对角块矩阵，每一行至多有 5 个非零元素，通常称这种绝大数元素为零的矩阵为稀疏矩阵稀疏矩阵。常用迭代法求解以大型稀疏矩阵为系数矩阵的线性方程组。可以证明（1.1.9）的系数矩阵是对称正定的。四、四、Gauss-Seidel 迭代迭代五、具体算例五、具体算例用五点差分格式计算如下定解问题：将0 , 1 作 M 等分，用 Gauss-Seidel 迭代法求解差分方程组（1.1.5）和 （1.1.6）.六、结果分析：六、结果分析：程序运行出的结果为（以 h1= h2=1/1
8、0 时为例）：U =Columns 1 through 7 1.0000 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.82211.0948 1.2125 1.3413 1.4819 1.6358 1.8052 1.99261.1787 1.3087 1.4494 1.6007 1.7644 1.9436 2.14221.2509 1.3943 1.5467 1.7071 1.8775 2.0625 2.26821.3105 1.4708 1.6361 1.8035 1.9761 2.1609 2.36731.3570 1.5422 1.7233 1.8949 2.
9、0624 2.2376 2.43521.3900 1.6176 1.8202 1.9904 2.1409 2.2920 2.46601.4091 1.7182 1.9494 2.1055 2.2188 2.3234 2.45131.4141 1.8968 2.1537 2.2635 2.3053 2.3316 2.38121.4049 2.3013 2.5049 2.4896 2.4073 2.3165 2.24881.3818 1.5271 1.6877 1.8652 2.0614 2.2782 2.5178Columns 8 through 11 2.0138 2.2255 2.4596
10、2.71832.2009 2.4327 2.6904 2.97612.3644 2.6139 2.8934 3.20412.5007 2.7652 3.0649 3.40022.6048 2.8814 3.2010 3.56232.6700 2.9546 3.2955 3.68872.6854 2.9714 3.3375 3.77842.6344 2.9079 3.3049 3.83022.4932 2.7208 3.1442 3.84382.2363 2.3380 2.7071 3.81902.7825 3.0752 3.3986 3.7560utrue =Columns 1 through
11、 7 1.0000 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.82211.0948 1.2100 1.3372 1.4779 1.6333 1.8051 1.99491.1787 1.3027 1.4397 1.5911 1.7585 1.9434 2.14781.2509 1.3824 1.5278 1.6885 1.8661 2.0623 2.27921.3105 1.4483 1.6006 1.7690 1.9550 2.1606 2.38781.3570 1.4997 1.6575 1.8318 2.0244 2.2373 2.47261.3900 1.
12、5362 1.6977 1.8763 2.0736 2.2917 2.53271.4091 1.5573 1.7210 1.9020 2.1021 2.3231 2.56751.4141 1.5628 1.7271 1.9088 2.1095 2.3314 2.57661.4049 1.5527 1.7160 1.8965 2.0959 2.3163 2.56001.3818 1.5271 1.6877 1.8652 2.0614 2.2782 2.5178Columns 8 through 11 2.0138 2.2255 2.4596 2.71832.2047 2.4366 2.6929
13、2.97612.3737 2.6233 2.8992 3.20412.5189 2.7838 3.0766 3.40022.6390 2.9165 3.2233 3.56232.7327 3.0201 3.3377 3.68872.7991 3.0935 3.4188 3.77842.8375 3.1359 3.4657 3.83022.8476 3.1471 3.4780 3.84382.8292 3.1267 3.4556 3.81902.7825 3.0752 3.3986 3.7560列表如下：表表 1 具体算例部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解具体算例部分结点处的精确解和取
14、不同步长时所得的数值解画出的曲面图如下：图图 2 h1= h2=1/10 时的数值解曲面图时的数值解曲面图图图 3 h1= h2=1/10 时的精确解曲面图时的精确解曲面图图图 4 h1= h2=1/10 时的误差曲面图时的误差曲面图图图 5 h1= h2=1/20 时的数值解曲面图时的数值解曲面图图图 6 h1= h2=1/20 时的精确解曲面图时的精确解曲面图图图 7 h1= h2=1/20 时的误差曲面图时的误差曲面图参考文献：参考文献：1 刘慧颖.MATLAB R2007 基础教程.北京：清华大学出版社.2008.7 2 孙志忠.偏微分方程数值解法.北京：科学出版社.2005.1 3 徐树方,高 立,张平文.数值线性代数（第二版）.北京：北京大学出版社. 2013.1附录：附录：%Gauss-Seidel 迭代法function x=G_S(A,b,x
