《北师大版高中数学导学案《等比数列的前n项和》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版高中数学导学案《等比数列的前n项和》（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 课时 等比数列的前 n 项和知能目标解读知能目标解读1.掌握等比数列的前 n 项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前 n 项和.2.掌握等比数列前 n 项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前 n 项的问题.在应用时，特别要注意 q=1 和 q1 这两种情况.3.能够利用等比数列的前 n 项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前 n 项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前 n 项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导学习方法指导1.等比数列的前 n 项和公式（1
2、）设等比数列an，其首项为 a1，公比为 q，则其前 n 项和公式为na1 (q=1)Sn= .(q1)qqan 1)1 (1也就是说，公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在 q=1处.因此，使用等比数列的前 n 项和公式，必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是不等于 1，如果 q 可能等于 1，则需分 q=1 和 q1 进行讨论.（2）等比数列an中，当已知 a1,q(q1)，n 时，用公式 Sn=，当已知 a1,q(q1)，an时，用公qqan 1)1 (1式 Sn=.qqaan 112.等比数列前 n 项和公式的推导除课本上用错位相减法
3、推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：=q.12 aa23 aa1nn aa当 q1 时，=q,即=q.12132nn aaaaaa LLnnn aSaS 1故 Sn=.qqaan 11 qqan 1)1 (1当 q=1 时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当 q1 时，Sn=.qqaan 11 qqan 1)1 (1当 q=1 时，Sn=na1.(3)利用关系式 Sn-Sn-1=an(n2)当 n2 时，Sn=a1+a2+a3+an=a1
4、+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当 q1 时，有 Sn=,qqan 1)1 (1当 q=1 时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及 an与 Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求anbn的前 n 项和.3.等比数列前 n 项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比 q 是否为 1 是考虑等
5、比数列问题的重要因素，在求和时，注意分 q=1 和 q1 的讨论.4.等比数列前 n 项和公式与函数的关系(1)当公比 q1 时，令 A=，则等比数列的前 n 项和公式可写成 Sn=-Aqn+A 的形式.由此可见，非常数qa 11列的等比数列的前 n 项和 Sn是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比 q=1 时，因为 a10，所以 Sn=na1是 n 的正比例函数（常数项为 0 的一次函数）.(2)当 q1 时，数列 S1,S2,S3,Sn,的图像是函数 y=-Aqx+A 图像上的一群孤立的点.当 q=1 时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像
6、是正比例函数 y=a1x 图像上的一群孤立的点.知能自主梳理知能自主梳理1.等比数列前 n 项和公式（1）等比数列an的前 n 项和为 Sn,当公比 q1 时，Sn=;当 q=1 时，Sn=.(2)推导等比数列前 n 项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列an的前 n 项和 Sn=p(1-qn)(p 为常数)，且 q0,q1，则数列an为 .（2）在等比数列的前 n 项和公式中共有 a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知 求.答案 1.（1） na1 (2)错位相减法qqan 1)1 (1 qqaan 112.（1）等比数列 （2）三 二思路方法技巧思路方法技巧命题方向 等比数列前
7、 n 项和公式的应用例 1 设数列an是等比数列，其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数列的公比 q.分析 应用等比数列前 n 项和公式时，注意对公比 q 的讨论.解析 当 q=1 时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当 q1 时，=3a1q2,qqa 1)1 (3 1因为 a10,所以 1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得 q=-.21综上所述，公比 q 的值是 1 或.21说明 （1）在等比数列中，对于 a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前 n 项和问题，必须注意 q 是否等于
8、1，如果不确定，应分 q=1 或 q1 两种情况讨论.（3）等比数列前 n 项和公式中，当 q1 时，若已知 a1,q,n 利用 Sn=来求；若已知 a1,an,q,利用qqan 1)1 (1Sn=来求.qqaan 11变式应用 1 在等比数列an中,已知 S3=,S6=,求 an.27 263解析 S6=,S3=,263 27S62S3，q1.= qqa 1)1 (3 1 27= qqa 1)1 (6 1 263得 1+q3=9,q=2.将 q=2 代入，得 a1=,21an=a1qn-1=2n-2.命题方向 等比数列前 n 项的性质例 2 在等比数列an中，已知 Sn=48,S2n=60,
9、求 S3n.分析 利用等比数列前 n 项的性质求解.解析 an为等比数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)S3n=+S2n=+60=63.nnn SSS2 2)( 48)4860(2说明 等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用 2 等比数列an中，S2=7，S6=91,求 S4.解析 解法一：an为等比数列，S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，（S4-7）2=7（91-S4） ，解得 S4=28 或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)
10、0,S4=28.解法二：S2=7,S6=91,q1.=7 qqa 1)1 (2 1=91 qqa 1)1 (6 1得 q4+q2-12=0,q2=3,q=.3当 q=时，a1=,32) 13(7S4=28.qqa 1)1 (4 1当 q=-时，a1=-,32) 13(7S4=28.qqa 1)1 (4 1探索延拓创新探索延拓创新命题方向 等比数列前 n 项和在实际问题中的应用例 3 某公司实行股份制，一投资人年初入股 a 万元，年利率为 25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出 x 万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）
11、写出第 n 年年底，此投资人的本利之和 bn与 n 的关系式（不必证明） ；（3）为实现第 20 年年底此投资人的本利和对于原始投资 a 万元恰好翻两番的目标，若 a=395,则 x 的值应为多少?(在计算中可使用 lg20.3)解析 (1)第一年年底本利和为 a+a25%=1.25a,第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第 n 年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.2
12、5)x.(3)依题意，有3951.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4395,x=125. 1) 125. 1 (25. 1)425. 1 (3951920=. 25. 125. 1)425. 1 (39525. 02020设 1.2520=t,lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.810t=100,代入解得 x=96.变式应用 3 某大学张教授年初向银行贷款 2 万元用于购房，银行货款的年利息为 10，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分 10 年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解析 第 1 次还款
13、 x 元之后到第 2 次还款之日欠银行20000（110）x=200001.1x,第 2 次还款 x 元后到第 3 次还款之日欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.12-1.1x-x,第 10 次还款 x 元后，还欠银行 200001.1101.19x-1.18x-x,依题意得，第 10 次还款后，欠款全部还清，故可得200001.110（1.191.181）x=0,解得 x=3255(元).11 . 11 . 01 . 1200001010名师辨误做答名师辨误做答例 4 求数列 1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前 n 项和.误解 所求数
14、列的前 n 项和 Sn=1+a+a2+a3+a12) 1(nn=.aann112)1(辨析 所给数列除首项外，每一项都与 a 有关，而条件中没有 a 的范围，故应对 a 进行讨论.正解 由于所给数列是在数列 1,a,a2,a3,中依次取出 1 项，2 项，3 项，4 项，的和所组成的数列.因而所求数列的前 n 项和中共含有原数列的前（1+2+n）项.所以 Sn=1+a+a2+a.当 a=012)1(nn时，Sn=1.当 a=1 时，Sn=.当 a0 且 a1 时，Sn=.2) 1( nn aann112)1(课堂巩固训练课堂巩固训练一、选择题1.等比数列an的公比 q=2，前 n 项和为 Sn
15、，则=（ ）24 aSA.2 B.4C. D. 215 217答案 C解析 由题意得=.故选 C.24 aS 221)22(14 1aa2152.等比数列an的前 3 项和等于首项的 3 倍，则该等比数列的公比为（ ）A.-2B.1C.-2 或 1D.2 或-1答案 C解析 由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,q2+q-2=0,q=1 或 q=-2.3.等比数列2n的前 n 项和 Sn=（ ）A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2答案 D解析 等比数列2n的首项为 2，公比为 2.Sn=2n+1-2,故选 D.qqan 1)1 (1 21)21 (2 n二、填空题4.若数列an满足：a1=1,an+1=2an（nN+） ，则 a5=;前 8 项的和 S8=.（用数字作答）答案 16 255解析 考查等比数列的通项公式和前 n
