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1、1初初 一一 数数 学学（第 39 周）【教学内容教学内容】 几何 2.7 空间里的垂直平行关系2.8 命题2.10 定理与证明 【教学目标教学目标】1、通过长方体的棱与面、面与面之间的位置关系，了解直线与平面、平面与平面 的垂直关系及平行关系； 2、了解命题，公理，定理的概念，能初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成 “如果那么”的形式； 3、了解“证明”的必要性和综合法证明的格式。 【知识讲解知识讲解】一、空间里的垂直平行关系 前面我们学过了平面内直线与直线垂直及直线与直线平行的情况。实际上，空间里 也有垂直与平行的情况。例如，在长方体的模型（如图）中： 棱 a 与面 I、面 I 与面是
2、垂直关系，这种垂直关系，就是空间里直线与平面，平面 与平面的垂直关系。在什么情况下，直线与平面、平面与平面互相垂直呢？我们观察一个长方体。为了 便于说明，在它的顶点处标上字母（图（2） ） 。 先观察图（2）中棱 AA 与面 ABCD 的关系。我们知道，AAAB，AAAD，而 AB、AD 是面 ABCD 内两条相交的棱。像这样，一条棱 垂直于一个面内两条相交的棱，这条棱与这个面就互相垂直。 再看面与面 ABCD。棱 AA 垂直于面 ABCD，而面 AABB经过棱 AA，像 这样，一个面经过另一个面的一条垂直的棱，这两个面就互相垂直。 观察图（2）中的长方体，首先看棱 AB 与面 ABCD的位置
3、关系。把棱 AB 向两方延长。面 ABCD和各个方向延展，它们总也不会相交，像这样的两个面 是互相平行的。 说明：（1）在一个长方体中，判定平面与平面是否垂直，一般要看它们是否相邻， 相邻位置的面是互相垂直的；判定棱与平面是否垂直，一般要看它们是否相邻，如果相 邻，就是互相垂直的关系。2（2）在一个长方体中，判定平面与平面是否平行，直线与平面是否平行，关键看它 们之间是否有公共点，无公共点就平行。 例 在长方体中， （如图（2） ） （1）棱 AB 与哪个面垂直？哪些棱与面 ABCD垂直？面 AABB与哪些 面垂直？哪些面与面 ADDA 垂直？ （2）棱 CD 与哪些面平行？面 CDDC与哪些
4、棱平行？面 ABBA与哪个面平 行？ 答：（1）棱 AB 与面 BCCB、面 ADDA 垂直；棱 AA、棱 BB、棱CC、棱 DD 与面 ABCD垂直；面 AABB与面 ADDA、面 ABCD、面 BCCB、面 ABCD垂直；面 ABCD、面 AABB、 面 ABCD、面 CDDC 垂直于面 ADDA （2）棱 CD 与面 ABBA、面 ABCD平行？ 面 CDDC与棱 AA、棱 BB、棱 AB、棱 AB平行； 面 ABBA与面 DCCD平行。 二、命题 1、命题的概念： 命题是指判断一件事情的句子。如： （1）对顶角相等； （2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （
5、3）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； （4）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 每个命题都是由题设，结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出 的事项。命题常写成“如果那么”的形成。用“如果”开始的部分是题设，用 “那么”开始的部分是结论。 例如，上面的命题（2）中， “两条直线都和第三条直线平行”是题设， “这两条直线 也互相平等”是结论。命题（3）中， “同位角相等”是题设， “这两条直线平行”是结 论。不过，这个命题中， “如果”前面还有一个条件，没有这个条件，就没有同位角， 所以这个条件也属于题设部分。 有些命题，例如命题（1） 、 （4
6、） ，没有写成“如果那么”的形式，是设和结 论不明显。对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以得到它们改写成 “如果那么”的形式。 例如，命题（1）可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 。命题（4） 可以写成“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。 ” 2、真命题与假命题： 命题是一个判断，这个判断可能是正确，也可能是错误，因此我们把命题分成真命 题和假命题。 （1）真命题：题设成立，结论一定成立的命题。 （2）假命题：题设成立，但结论不一定成立的命题。 例 1、判断下列语句是不是命题。3（1）过点 A 作直线l的垂线； （2）合并同类项； （3）能被 5
7、整除的数的末位数是 5； （4）连结两点的所有线中，线段最短； （5）相等的角是对顶角吗？ （6）邻补角相等； （7）在直线 AB 上取点 C。 解：（3） 、 （4） 、 （6）是命题；（1） 、 （2） 、 （5） 、 （7）不是命题。 例 2、先把下列命题写成“如果，那么”的形式，然后写出题设和结论， 并判断是真命题还是假命题。 （1）平行于同一直线的两条直线平行； （2）对顶角相等； （3）互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直； （4）同角的余角相等； （5）相等的角是对顶角； （6）不能被 2 整除的数是奇数； （7）内错角相等、两直线平行。 解：（1）如果两条直线都平等于同一直线，
8、那么这两条直线平行。 题设是：两条直线都平行于同一条直线。 结论是：这两条直线平行。 是真命题； （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 题设是：两个角是对顶角。 结论是：这两个角相等。 是真命题。 （3）如果两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线，那么这两条射线互相垂直。 题设是：两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线。 结论是：这两条射线互相垂直。 是真命题。 （4）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。 题设是：两个角是同一个角的余角。 结论是：这两个角相等。 （5）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。 题设是：两个角相等。 结论是：这两个角是对顶角。 是假命题。 （6）
9、如果一个数不能被 2 整除，那么这个数是奇数。 题设是：一个数不能被 2 整除。 结论是：这个数是奇数。4AOD CEB图（4）是假命题。 （7）如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行。 题设是：两条直线被第三第直线所截，截得的内错角相等。 结论是：这两条直线平行。 是真命题。 说明：命题的改写不是机械地添上“如果” 、 “那么” ，而是要使改写后的命题内容不 变，语句通顺，句子完整，并使假设和结论明朗化。为此，改写时可适当补充一些修饰 成份把原来省略的成份补充进去。因此改写的要求是：改写后命题的内容与改写前命 题的内容相同；改写后的命题要句子完整、语句通顺；改写后
10、的命题的题设和结论 要分得很清楚。 三、定理与证明 1、公理、定理及证明的概念： 前面我们学过一些图形的性质，都是真命题。其中有些命题，如“两点确定一条直 线” 、 “两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条线平行”等，它们的 正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并作为判断其他命题是真假的根据，这就是 我们所说的公理。 除了公理以外还有一些命题，如“对顶角相等” 、 “两直线平行，内错角相等”等它 们的正确性是用推理证实的，这种用推理的方法得到的真命题叫做定理。作为真命题， 定理也可作为继续推理的依据。 除了公理外，一个命题的正确性需要经过推理，才能作为判断，这个推理过程叫证 明
11、。 2、证明命题的一般步骤： （1）仔细读题，领会题意，分清题设和结论； （2）根据题意，画出正确的图形，并在图上标注字母或符号； （3）结合图形，用符号语言分别把题设和结论写在“已知” 、 “求证”后面； （4）探求解题途径，书写推理过程。 注意：证明中的每一步推理都要注明理由，不能“想当然” ；关于假命题的判断，只要举一个反例子，它符合命题的题设，但不满足结 论就可以了。 例 1、将下列命题按题意画出图形，并结合图形写出已知求证。 (1)同角的余角相等； (2)邻补角的角平分线互相垂直。 解：(1)如图(3)，已知1 与2 互余，1 与3 互余 求证：2=3。312图（3）5EACGHFB
12、D图（5）图（6）HEADFBCG(2)如图(4)，已知AOC+BOC=180，OD、OE 分别平分AOC 与BOC。 求证：ODOE。说明：将命题的文字语言，改用几何图形和数学式子表达(译题)，关键是他细审题， 根据命题的题设和结论画出准确的图形、图形中的字母与译文一致，不能添加或丢失某 些条件或结论。 例 2、求证：若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则这条直线必垂直平行线中 的另一条。 分析：命题的题设是。 “一条直线垂直于两条平行线的一条” ，其中包括两个方面的 内容：一是两条平行线；二是一条直线垂直于平行线中的一条直线。 结论是“这条直线必垂直于平行线中的另一条直线。 ” 已知；如图
13、(5)，ABCD，EFAB 分别交 AB、CD 于 G、H。 求证：EFCD。 证明：ABCD(已知)，EGB=EHD(两条直线平行，同位角相等)又EFAB(已知)EGB=90(垂直的定义)EHD=90(等量代换)EFCD(垂直的定义) 说明：(1)对于文字命题的证明，我们一般按如下步骤去完成“证明” ；读题画图；分清题设、结论写出“已知” 、 “求证” ；探索证明思络写出证明过程。 (2)现阶段我们一方面要注意证明过程的表述应与图形一致，另一方面要注意过程的 严密和完整。 (3)所学过的定义，公理，定量，性质等知识要及时复习，熟记于心，灵活运用。【一周一练一周一练】一、填空题1、如图 6，在
14、长方体中： (1)棱 HE 与平面 AEFB 的位置关系是 ； (2)与棱 FG 垂直的平面是 ； (3)与平面 ADHE 垂直的棱是 ； (4)与平面 BCGF 垂直的面是 。 2、长方体中与一条棱垂直的面有 个，与一个面垂直的棱有 条， 与一个面垂直的面有 个。 3、如图(6)，在长方体中： (1)棱 AE 与平面 BCGF 的位置关系是 ； (2)与棱 BC 平行的面是 ；6(3)与平面 ABCD 平行的棱是 。 4、把下列命题改写成“如果那么”的形式，并判断真假： (1)等角的余角相等； 如果 ， 那么 。是 。 (2)同位角相等； 如果 ， 那么 ；是 。 (3)异号两数相加和为零； 如果 ， 那么 ；是 。 (4)两直线平行，同位角相等； 如果 ， 那么 ；是 5、写出下列命题的题设和结论； (1)绝对值等于 3 的数是 3； 题设： 结论： . (2)在平面内，没有交点的两条直线互相平行； 题设 ：
