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1、习题习题 3.51. 设则在中与 A 等价的矩阵为 ，并说明理由,B C D分析分析 等价的充要条件是两个行列数相同的矩阵的秩相同. 由于是一个的秩为 2 的A3 3矩阵, 所以只要在中找出同样是的秩为 2 的那个矩阵即是与等价的矩阵.,B C D3 3A解解 是的, 但是它的秩为 1 所以不是; 是的同时秩也是 2 所以与等价; B3 3C3 3A 虽然秩是 2 但是是的矩阵, 所以与不等价. 综上知应填.D4 3AC2下述命题正确的是( )，并说明理由. (A) 若 A 与 B 等价，则 A=B.(B) 若方阵 A 与方阵 B 等价，则.AB(C) 若 A 与可逆矩阵 B 等价，则 A 也
2、是可逆矩阵. (D) 若 A，B，C，D 均为 n 阶方阵.若 A 与 B 等价，C 与 D 等价，则 A+C 与 B+D 等价.解解 (A)设, 由于秩()=秩(), 所以他们必等价, 但是显然1001,0000ABAB. 据此(A)不正确.AB(B),由于秩()=秩(), 所以他们必等价, 但是显然1010,0102ABAB.据此(B)不正确.12AB (C)是可逆矩阵, 因此是满秩的方阵. 根据题意 A 与 B 等价, 即有秩()=秩(),BBAB所以也是满秩的方阵, 因此 A 也是可逆矩阵. 据此(C)正确.A(D)设, 秩()=秩(), 1001,0000AB1000,0010CDA
3、B秩()=秩(), 所以 A 与 B 等价，C 与 D 等价. 但是显然不CD01,10ACO BD等价. 据此(D)不正确.综上知应填.C解解 由于两个矩阵等价, 所以两者的秩必相等., 可知该矩阵的秩为 2, 因此的秩21232120120 240003 003000RR R 123 258 26a 也必须为 2. 对它作初等行变换., 所以要使得322131(4)2 2123123123 258012012 26040002(4)RaRRR RR aaa 它的秩为 2,则. 故应填 4.4a 4.证明：秩为 r 的矩阵可表示为 r 个秩为 1 的矩阵之和证证 设为秩为 r 的矩阵, 则它
4、必与矩阵等价, 所以必存在两个可逆矩Am nrm nEOOO 阵使得成立. 而可以写成 r 个只有一个元素为 1,P Qrm nEOAPQOOrm nEOOO 其余为零的矩阵的和的形式:m n,10 0100 00rm nm r n rm r n rm nm nEO OOOO OOL,00 0010 01m r n rm r n rm nm nOO OO所以有rm nEOAPQOO=,10 00()00 01m r n rm r n rm nm nPQOO OOL=,10000001m r n rm r n rm nm nPQPQOO OOL这样就表示成了 r 个矩阵之和的形式. 而任一个,
5、A,010m r n rm nPQO OO由于中间那个矩阵只有一个元素非零, 所以其秩为 1, 而可逆, 所以三个矩阵的积的,P Q秩仍然为 1. 这样就表示成了 r 个秩为 1 的矩阵之和了.A5.上题的逆命题“r 个秩为 1 的矩阵之和的秩为 r”是否成立?成立请证明，否则举反 例证证 设 12,11 00,m r n rm r n rm nm nAAOO OO,10,rm r n rm nAO LO显然的秩都是 1, 但是他们的和的秩是 1 而(1,2, )iA irL,0m r n rm nrAO O不是 r. 所以该逆命题不成立.6.若将所有 n 阶方阵按等价分类，可分成几个等价类?
6、每一类的标准形是什么?解解 可以分成类, 秩为 0 的一类, 标准形为; 秩为 1 的一类, 标准形为; 1nO1EO OO 秩为 2 的一类, 标准形为, , 秩为的一类, 标准形为.2EO OO LnnE7.设 A 是 n(n1)阶方阵，AO，则存在一个非零矩阵，使得的充要条件为n tBABO0A 证证 对于必要性的证明同习题 3.2 的第 13 个习题, 下面证明该命题的充分性.若则可知是一个不满秩的 n(n1)阶方阵, 据此可知线性方程组有非0A AAXO零解. 设为一个非零解, 则令. 显然是一个非零1,naaL1200 0000nn ta aBa L L MMM LB的矩阵, 并且
7、满足. 所以存在这样的非零矩阵，使得.n tABOn tBABO8.设 A 是 mn 矩阵, B 是 nm 矩阵，若 mn，则必有.0AB 证证 由于秩秩(), 而是一个的矩阵且, 所以秩(). 据此可()AB AAm nmnAn得秩. 由于 A 是 mn 矩阵, B 是 nm 矩阵, 所以是一个的方阵, 由()AB nABm m于秩, 因此是不满秩的, 因此.()AB nmAB0AB 9.设, 是秩为 1 的矩阵，问矩阵的秩为多少?227 036 000A BAE B解解 由=, 可知, 所以是可逆矩阵, 因此AE127026001 20AE AE秩()=秩()=1.AE BB10.设 A 为矩阵(1) 秩()必 TAATAA(2) 齐次线性方程组()为( ).TAAXO(A) 无解； (B) 有惟一解； (C) 有无穷多解； (D) 解不确定，可能有解，可能无解.解解 (1) A 为矩阵, 则即为一个的矩阵, 利用本节第 8 个习题可知TA3 50, 所以秩()必小于等于 3.TAATAA(2)由(1)知秩()3未知数个数, 所以必有无穷多解, 所以选填 C.TAA
