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1、关于向量教学关于向量教学“价值观价值观”的几点思考的几点思考向量是近代数学中最基本、最重要的数学概念向量进入中学课程是一项重大的举措， 在某种程度上是革命性的举措纵观我国中学数学课程的历史沿革，能称得上“革命性的 举措”的只有三次，引入向量是其中的一次这是因为向量在现代数学的发展中起着不可 替代的作用，是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容 在中学数学教学中，向量常被当作一种工具，用来处理几何问题，因为用向量比用综 合几何的方法简单、容易这种做法是不全面的，失去了将向量引入中学课程的原有价值， 本文将重构向量的教学内容，进一步探寻向量教学的“价值观” ，让向量在中学数学课程中， 发挥其
2、特有的价值一、体验向量的产生过程，凸显向量的一、体验向量的产生过程，凸显向量的“创新价值创新价值” 从数量到向量的跨越，是数学史上的重大发展 教材中，总是通过物理中的“力”和“位移”等实例引出向量的概念，用物理学中 “功”的计算方式定义向量的数量积，这样处理往往让学生感到茫然笔者作过调查，学 生中，认为用一个“箭头”表示一个向量有失数学的严谨性的占 74.3%，认为向量应该属 于物理学科而不应该属于数学学科的高达 82.1%，事实上，如此处理向量概念，不符合学 生的认知规律，也不利于向量的进一步拓展，更可惜的是我们错过了一次让学生感受数学 发展的过程，错过了一次让学生体验数学创新的良机 道德经
3、说：“道生一，一生二， 二生三， 三生万物” 由一产生二， 区分单数 和复数，从数量到向量，数学地反映了个别到一般、简单到复杂的事物发展过程笔者认 为：向量概念的产生来自于生活实际，一定要让学生体验数学知识的发展过程 1.将向量概念的产生与实际需要联系起来 有一个实际问题，顾客甲买了数学书本，我们用表示其购书情况，并称为数xxx 量若顾客甲又买了语文书本，那么，我们应该用什么数来表示呢？显然，原有的数量y已无法表示，为此，我们引进一个新的量表示顾客甲的购书情况，并称新的量( , )x y为向量( , )x y用这种方法定义向量，基于原先的一维数量，学生感到自然，且容易接受，在此基础 上，学生更
4、容易将其推广到三维，甚至更高维的空间 2.用化归的方法定义向量的运算 运算是数学学习的一个基本内容，运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索 数量是可以运算的，它能进行加、减、乘、除等运算类似于数量的运算，对于向量 我们该如何定义它的运算呢？若顾客甲买了数学书本，买了语文书本，我们用向量表示顾客甲的购书情ab( , )a b况，顾客乙买了数学书本，买了语文书本，我们用向量表示顾客乙的购书情况，cd( , )c d那么，两人的购书情况可用向量来表示，这样我们就可以定义向量的加法运(,)ac bd算：.( , )( , )(,)a bc dac bd若有个顾客都与顾客甲一样，每人买了数学书本，买
5、了语文书本，那么，这kab个顾客的购书情况可用向量表示，这样我们就可以定义向量的数乘运算：k(,)ka kb.( , )(,)k a bka kb顾客甲买了数学书本，买了语文书本，我们用向量表示顾客甲的购书情况，ab( , )a b若数学书每本元，语文书每本元，我们用向量表示书价情况，那么顾客甲共化费uv( , )u v了元这样我们就可以定义向量的数量积运算：aubv.( , ) ( , )a bu vaubvA数量运算中减法是加法的逆运算，类似地，我们也可以定义向量的减法运算，这样， 向量就可以运算了 用向量可以解决我们用一维数量无法解决的二维平面问题. 人类总是向未知进军，把世界万物之间的
6、数量关系抽象出来，形成一种数学对象，构 建一门学科，然后回到实践，为人类的发展和进步服务二、注重向量的运算规律，把握向量与近代数学的二、注重向量的运算规律，把握向量与近代数学的“接轨价值接轨价值” 运算及其运算规律是代数学的基本研究对象 教材中，由于用一个“箭头”表示向量，所以，向量的运算总是“几何”地进行定义， 如四边形法则、三角形法则等，这会让学生觉得不严谨，让老师感到难操作笔者对教师 作过调查，能认认真真地通过作图，证明向量的运算满足各种运算律的老师不足 10.7%， 对运算律的认识不到位的高达 82.6%，事实上，把向量引入中学课程，正是因为向量能进 行各种全新的运算，这些运算和近代数
7、学接轨 从数量运算到向量运算，是学生对运算理解的一次质变，是学生数学学习的一大提 高笔者认为：要注重向量的运算和运算规律，为学生今后学习近代数学打桩奠基 1展示向量运算的拓展功能 从小学开始，学生所接触的运算对象就在不断地扩展，从正数到负数，从有理数到实 数，从数到字母、到多项式等但是，我们必须注意到，所有这些运算，只是一个由实数 集到实数集的二元代数运算而向量则不同，向量的运算能打破以往的封闭性，从数运算 到向量运算，是运算的一次重大飞跃我们记为全体实数集，为全体向量集，则向量的加、减运算是的代数RIIII 运算，向量的数乘是的代数运算，向量的数量积是的代数运算向量RIIIIR 的运算不同于
8、数量的运算，它涵盖了三种类型的代数运算，扩充了运算对象和运算性质 尽管在学生今后的学习中，运算对象与运算性质还会继续扩充，如变换运算、矩阵运 算等，但向量是学生第一次接触的实数以外的运算对象，我们务必要突显其拓展功能 2. 强化向量运算的接轨功能 运算和运算律是近代数学的重要标志在实数运算中，我们也强调运算律，但那是在 小学低年级，认知能力和心里现象决定了低年级的学生是无法接受如此抽象的代数概念 的要强化运算律，要与近代数学接轨，为学生的后续学习奠基，向量是高中阶段唯一的 一个载体问题是教材中的向量运算是“几何”地定义的，这给我们验证运算律带来不便，因此，笔者还是强调，先用类比的方法， “代数
9、”地定义向量的运算，这样，探究向量的运 算律就会变得十分的方便，这就是用符号表示向量所带来的优越性在向量集中，向量的加法运算满足结合律、交换律，且存在零向量，使得中的I0I任一向量，都有，同时，对于中的任一向量，有负元，满足a0aaIaa，于是，向量集对于加法运算来说构成一个交换群 0aa I我们关注向量的加法运算和实数与向量的数乘运算，运算显然满足：；abba abcabcabab；.这样对于向量的加法aaa aa 00a 1aa和数乘运算而言，向量集就是实数集上的线性空间IR对于任一向量，我们定义向量的模运算：.显然它是一个向( , )aa b22aab量集到实数集上一种代数运算，且满足：
10、，当且仅当时取IR220aab0a 等号；对任意的，；对任意的，.,kR aIkakaA, a bI abab这样模运算就是定义在向量集的一个范数，于是，向量集是实数集上的线性赋范空IIR 间. 群、线性空间、线性赋范空间都是重要的数学模型，也是抽象代数、线性代数、泛函 分析的重要研究对象，因此，向量为进一步研究近代数学提供了数学模型 当然，群、线性空间、线性赋范空间等概念不需要给学生介绍，但作为教师应当清楚， 应当清楚向量与近代数学的“接轨价值” 三、探寻向量的几何运算，揭示向量的三、探寻向量的几何运算，揭示向量的“几何价值几何价值” 向量是沟通代数与几何的天然桥梁 向量进入数学并得到发展，
11、是从复数的几何表示开始的，1797 年，丹麦数学家C.Wessel 利用坐标平面上的点表示复数，并利用具有几何意义的复数运算定, a babi义向量的运算，并把向量的几何表示用于研究平面几何与三角问题，于是人们逐步接受了 平面向量 前面我们“代数”地定义了向量与向量的运算，且学生也容易接受，这是符号化的优 势不可否认，向量的另一优势在于它的“几何价值” 笔者认为：向量是代数的，也是几 何的，运用向量刻画几何对象及其性质是非常重要的一环，两者缺一不可 1. 用类比的方法构建向量的几何表示 数学是以客观事物的数量关系和空间形式为内容的一门学科，数形结合是进行数学研 究的最基本的数学思想那么，如何构
12、建向量的几何表示呢？ 先回顾一下实数的几何表示：我们先画一条数轴，这样，对于实数集上的任一实数R，它与数轴上的有向线段成一一对应(其中点对应的实数为，为原点)，于是，xOXXxO数与形就得到了完美的结合.运用类比的方法定义向量的几何表示：我们先建立直角坐标系，这样，对于向量集上的任一向量，它与平面上的有向线段成一一对应(其中点的坐标为，, a bOA A, a b为原点)，于是向量就有了自己的几何表示.O 2. 用同构的观点探求向量的几何运算我们知道，映射，对于向量集上的加法运算与有向线段集上的“平行:, a bOA 四边形法则”运算，满足同构映射的定义，因此，我们可以用同构映射的观点去探寻向
13、量 的几何运算. (1).向量的加法运算设在直角坐标系下，点、的坐标分别为、，则ABC( , )a b( , )c d(,)ac bd向量、分别对应有向线段、，由向量加法的代( , )a b( , )c d(,)ac bdOA OB OC数定义得，于是应该( , )( , )(,)a bc dac bd有：.OAOBOC 将、画在同一个直角坐标系中OA OB OC(图 1)，我们可以发现：正是以、为OCOA OB 邻边的平行四边形的对角线.于是，我们就OACB 有向量加法的几何运算法则-平行四边形法则. (2).相等向量的定义由向量减法的代数定义有：，观察图 1 知：点坐标减(,)( , )(
14、 , )ac bda bc dC去点坐标等于点坐标减去点坐标.于是，我们定义：，即长度相等且方ABOACOB 向相同的向量叫做相等向量. 应该强调，数学中的向量只和长度、方向有关，与起点、终点的位置无关，因此，我 们研究的向量是自由向量，它不同于物理中的矢量. (3).向量的减法运算(图 1)，.由相等向量的定义可得：OAOBOC OBOCOA ，.OBAC ACOCOA 即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.这就是向量减OCOA OA OC法的几何运算法则-三角形法则. 类似地，我们也可以定义向量数乘的几何运算，这样，向量就有了“代数”与“几何” 的两种运算.向量的“几何”运算为我们
15、提供了一种全新的运算方式，是运算史上的一次重大突破.3.认识向量的几何价值 向量是几何的对象.如果以坐标系的原点为起点，向量就与空间的点建立起一一对应； 一个点和一个非零向量可以唯一地确定一条直线，它过这个点且与已知向量平行；同样， 一个点和一个非零向量也可以唯一地确定一个平面，它过这个点且与已知向量垂直；因此， 向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象-点、线、面. 向量是几何研究的对象.在立体几何中，可以用向量来讨论空间中点、线、面之间的关 系；可以判断线线、线面、面面的平行和垂直；可以度量几何体的长度、角度、面积等. 向量是沟通几何与代数的一座桥梁.在数学中，有两座桥梁横跨于代数与几何之间，这 就是向量与坐标系，坐标系依赖于原点的选择，而向量则不然，因此，它比坐标系更普遍、 更重要.一方面，通过向量的代数运算可以解决几何中的问题，另一方面，对于代数现象， 通过向量可以给出直观的几何解释. 我们在教学中，应帮助学生将向量的代数
