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1、第五章相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1); = 931421111 ) , ,(321a a a aa a a aa a a a解根据施密特正交化方法, = 11111a a a ab b b b,= 101, 1 1121 22b b b bb b b bb b b ba a a ab b b ba a a ab b b b. = 12131 , , 2 2232 1 1131 33b b b bb b b bb b b ba a a ab b b bb b b bb b b bb b b ba a a ab b b ba a a ab b b b(2). =011
2、101110111 ) , ,(321a a a aa a a aa a a a解根据施密特正交化方法, =110111a a a ab b b b, =123131 , 1 1121 22b b b bb b b bb b b ba a a ab b b ba a a ab b b b. =433151 , , 2 2232 1 1131 33b b b bb b b bb b b ba a a ab b b bb b b bb b b bb b b ba a a ab b b ba a a ab b b b2. 下列矩阵是不是正交阵:(1);121 312112131 211解此矩阵的第一
3、个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2).97 94 9494 91 9894 98 91解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x x x x为n维列向量,x x x xTx x x x=1, 令H=E2xxxxxxxxT, 证明H是对称的正交阵.证明因为HT=(E2xxxxxxxxT)T=E2(xxxxxxxxT)T=E2(xxxxxxxxT)T=E2(x x x xT)Tx x x xT=E2xxxxxxxxT,所以H是对称矩阵.因为HTH=HH=(E2xxxxxxxxT)(E2xxxxxxxxT)=E2xxxxxxxxT2xxxxxxxxT+(2xxxx
4、xxxxT)(2xxxxxxxxT)=E4xxxxxxxxT+4x x x x(x x x xTx x x x)x x x xT=E4xxxxxxxxT+4xxxxxxxxT=E,所以H是正交矩阵.4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵.证明因为A,B是n阶正交阵, 故A1=AT,B1=BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B1A1AB=E,故AB也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);201335212解,3) 1( 201335212 |+= = EA故A的特征值为=1(三重).对于特征值=1, 由, =+ 000110101101325213EA得方程(A+
5、E)x x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p1=(1, 1, 1)T, 向量p p p p1就是对应于特征值=1 的特征值向量.(2);633312321解, ) 9)(1( 633312321 |+= = EA故A的特征值为1=0,2=1,3=9.对于特征值1=0, 由, = 000110321633312321A得方程Ax x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p1=(1, 1, 1)T, 向量p p p p1是对应于特征值1=0 的特征值向量.对于特征值2=1, 由, =+ 000100322733322322EA得方程(A+E)x x x x=0 0 0 0
6、 的基础解系p p p p2=(1, 1, 0)T, 向量p p p p2就是对应于特征值2=1 的特征值向量.对于特征值3=9, 由, =0002110111333382328 9EA得方程(A9E)x x x x=0 0 0 0的基础解系p p p p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量p p p p3就是对应于特征值3=9 的特征值向量.(3). 0001001001001000解,22) 1() 1(001010010100 |+= = EA故A的特征值为1=2=1,3=4=1.对于特征值1=2=1, 由, =+00000000011010011001011001101001 EA
7、得方程(A+E)x x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p1=(1, 0, 0, 1)T,p p p p2=(0, 1, 1, 0)T,向量p p p p1和p p p p2是对应于特征值1=2=1 的线性无关特征值向量.对于特征值3=4=1, 由, =00000000011010011001011001101001 EA得方程(AE)x x x x=0 0 0 0 的基础解系p p p p3=(1, 0, 0, 1)T,p p p p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p p p p3和p p p p4是对应于特征值3=4=1 的线性无关特征值向量.6. 设A为n阶矩阵, 证
8、明AT与A的特征值相同.证明因为|ATE|=|(AE)T|=|AE|T=|AE|,所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同.7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)n, 故a a a a1,a a a a2, ,a a a anr,b b b b1,b b b b2, ,b b b bnt必线性相关. 于是有不全为 0 的数k1,k2, ,knr,l1,l2, ,lnt, 使k1a a a a1+k2a a a a2+ +knra a a anr+l1b b b b1+l2b b b b2+ +lnrb b b bnr=0 0 0 0.记 =k1a a a a1+k2a a
9、 a a2+ +knra a a anr=(l1b b b b1+l2b b b b2+ +lnrb b b bnr),则k1,k2, ,knr不全为 0, 否则l1,l2, ,lnt不全为 0, 而l1b b b b1+l2b b b b2+ +lnrb b b bnr=0 0 0 0,与b b b b1,b b b b2, ,b b b bnt线性无关相矛盾.因此, 0 0 0 0, 是A的也是B的关于=0 的特征向量, 所以A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量.8. 设A23A+2E=O, 证明A的特征值只能取 1 或 2.证明设是A的任意一个特征值,x x x x是A的对应于的特征
10、向量, 则(A23A+2E)x x x x=2x x x x3x x x x+2x x x x=(23+2)x x x x=0.因为x x x x0 0 0 0, 所以23+2=0, 即是方程23+2=0 的根, 也就是说=1 或=2.9. 设A为正交阵, 且|A|=1, 证明=1 是A的特征值.证明因为A为正交矩阵, 所以A的特征值为1 或 1.因为|A|等于所有特征值之积, 又|A|=1, 所以必有奇数个特征值为1, 即=1 是A的特征值.10. 设0 是m阶矩阵AmnBnm的特征值, 证明也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x x x x是AB的对应于0 的特征向量, 则有(AB)x x x
11、 x=x x x x,于是B(AB)x x x x=B(x x x x),或BA(B x x x x)=(Bx x x x),从而是BA的特征值, 且Bx x x x是BA的对应于的特征向量.11. 已知 3 阶矩阵A的特征值为 1, 2, 3, 求|A35A2+7A|.解令()=352+7, 则(1)=3,(2)=2,(3)=3 是(A)的特征值, 故|A35A2+7A|=|(A)|=(1)(2)(3)=323=18.12. 已知 3 阶矩阵A的特征值为 1, 2, 3, 求|A*+3A+2E|.解因为|A|=12(3)=60, 所以A可逆, 故A*=|A|A1=6A1,A*+3A+2E=6
12、A1+3A+2E.令()=61+32+2, 则(1)=1,(2)=5,(3)=5 是(A)的特征值, 故|A*+3A+2E|=|6A1+3A+2E|=|(A)|=(1)(2)(3)=15(5)=25.13. 设A、B都是n阶矩阵, 且A可逆, 证明AB与BA相似.证明取P=A, 则P1ABP=A1ABA=BA,即AB与BA相似.14. 设矩阵可相似对角化, 求x. = 50413102 xA解由,) 6() 1( 50413102 |2= = xEA得A的特征值为1=6,2=3=1.因为A可相似对角化, 所以对于2=3=1, 齐次线性方程组(AE)x x x x=0 0 0 0 有两个线性无关
13、的解, 因此R(AE)=1. 由 = 00030010140403101 )(xxEAr知当x=3 时R(AE)=1, 即x=3 为所求.15. 已知p p p p=(1, 1, 1)T是矩阵的一个特征向 = 2135212baA量.(1)求参数a,b及特征向量p p p p所对应的特征值;解设是特征向量p p p p所对应的特征值, 则(AE)p p p p=0 0 0 0, 即, =0001112135212ba解之得=1,a=3,b=0.(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.解由,3) 1( 201335212 |= = EA得A的特征值为1=2=3=1.由 = 00011010111325211rbEA知R(AE)=2, 所以齐次线性方程组(AE)x x x x=0 0 0 0的基础解系只有一个解向量. 因此A不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1);020212022解将所给矩阵记为A. 由=(1)(4)(+2), = 20212022 EA得矩阵A的特征值为1=2,2=1,3=4.对于1=2, 解方程(A+2E)x x x x=0 0 0 0, 即,0 220232024321=xxx得特征向量(1, 2, 2)T, 单位化得.T)32,32,31(1=p p p p对于
