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1、物理竞赛辅导力 学 ()质心质心 ( ( Center of Mass)Center of Mass)N个粒子系统，定义质量中心一、质心xyzmiO对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元xyzmiO二、质心系质心在其中静止的平动参照系。CyxOzyxxyzmi COOz质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量 守恒定律适用，而且，总动量 为零。质心系中质点 mi 的速度:（零动量参照系）质心系中三、质心运动定律* 在质心系中惯性力和外力完全抵消，故动量守恒。质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。质点系的质点系的角动量守恒定律角动量守恒定律内力矩合外力矩为零，质点系总角动量守恒 ijo为
2、零合外力矩零零zyxxyzmi COOyxxyzmi COOz质心系中：例：（ 18th, 9分 ）均匀细杆AOB 的A 端，B 端和中央位置O 处各有1个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔以 角速度 w。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。今 将一光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平方 向的移动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍如 前所述插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时， 将另一光滑细棍如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细 杆AOB 绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。解：AOBm , l 插入A孔前后AOBm , l 插入 B
3、 孔前后 wB反向转了 再次插入O孔前后AOBm , l逆时针转例（19th,4）质量分别为 m1 和 m2 的 两物块与劲度系数为 k 的 轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水 平外力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系统 质心 C 可获得的最大加速度为 ，可获得的最大速 度值为 。 m1 m2k解：Fm1NffFm2质心 的最大加速度质心 的最大速度m1 m2kFm2 过平衡位置时的速度= 0例：长为 l ，质量为m 的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过 杆的中点 O 的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与 光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度 v 飞来
4、，与杆碰撞并粘在杆 端点上，如图。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态。（2）若 去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。vm mC解： （1）角动量守恒以 3v/2l 为角速度做匀角速转动。OvmC去掉固定轴，杆中点不固定 质心的平动绕质心的转动杆小球系统，动量守恒杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒，C新质心C位置对新质心COvmCC对新质心C（平行轴定理）系统的质心以 v / 2 速度平动，系统绕过质心的轴以 w 6v/5l 为角速度做匀角速 转动。例（19th,9）如图所示。表面呈光滑的 刚体无转动地竖直下落。 图中虚线对应过刚体唯一地 最低点部位P1 的水平切平面。图中 竖直
5、虚线P1 P2 对应着过 P1 点的铅垂线， C 为刚体的 质心。设 C与铅垂线P1 P2确定的平面即为铅垂面，将C到P1 P2 的距离记为 d ，刚体质量为 。刚体相对于过 C 点且与图平面垂直的水平 转轴的 转动惯量为 IC . 设 ICm d 2。已知刚体与水平地面将发 生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的 点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相 反，大小不变。CdP1P2v0解：CdP1P2yvc解：CdP1P2yP0例:(15th,11) 两个质量相同的小球A 、B, 用长为 2a 的无弹性且 的不可伸长的绳子联结。开始时A、B 位于同一竖直线上
6、， B在A 的下方， 相距为a，如图所示。今给A 一水平初速度v0 ， 同时静 止释放B ，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问： 经过多长时间，A、B 恰好在同一水平线上？av0AB解：选择质心系，角动量守恒CAB2 a绳子拉紧前， A 、B 相对与质心的速度大 小为绳子拉紧后， A 、B相对于质心做圆周运动，角速度设为 w从释放到绳子拉直所用时间30CBvt0解：对于质心有Mc = 030例： 某惯性系中有两个质点A、B， 质量分别为 m1、 m2 ，它 们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距 l0，质点A静止， 质点B 沿连线方向的初速度为 v0 .为使质点 B 维持速度v0不
7、变， 可对质点 B 沿连线方向施一变力 F，试求：（1）两质点的最大 间距，及间距为最大时的 F 值（2）从开始时刻到间距最大的 过程中，变力 F 作的功（相对惯性系）（G为引力常数）l0v0m1m2AB解： 以 m2 为 S系SSm1l0v0m1m2ABSS解：（1）以 m2 为 S系m1机械能守恒l0v0m1m2ABS（2）S系中当 l = lmax 时，m1的速度 v =v0由动能定理，对（m1+ m2 ）m1例：（11th,9）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开 一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平 面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性水球在此
8、水平面上从 缺口处以速度 v 进入框内，图中v 的方向的角 = 45 ，设小球与 框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将 通过缺口离开框架。（）框架每边长为a，则小球从进入框架到 离开框架，相对于水平面的位移为：解：（ 1 ）（2） 小 球在框架内运动的时间为 T在 T 时间间隔内，质心的位移为例：（8th,12）小滑块A 位于光滑水平桌面上，小滑块 B 处于 位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量均是 m ，用长为 L ， 不可伸长、无弹性的轻绳连接。开始时A、B 间的距离为 L/ 2, A、B 间的连线与小槽垂直（如图 ）。今给滑块一冲击，使 之获得平行于槽的速度v0 ，求
9、滑块 B 开始运动时的速度。y解：滑块A和B组成的系统在 y 方向动量守恒。A、B组成的系统 对原B所在处角动量守恒，BAqL以 B 为参照系，A 相对于B 的运动为以 B 中心的圆， A 相 对于B 的速度为yBAqL12ABqL例:(16th,13) 两个上下水平放置的相同的均匀薄圆盘A、B，盘的半 径为 R ，质量为 M，两圆盘的中心都在同一竖直轴上, B 盘与轴 固定，A 盘与轴不固定。先使A 盘转动，B 盘不动，然后A盘下落 到 B 盘，并与之粘在一起，共同转动。设A 盘将要 落到B 盘上时 的角速度为w0 ,并假设空气对盘表面任意点附近单位面积的摩擦力 ，正比于盘在该处的线速度,
10、比例常数为 K，轴与轴承间的摩擦忽 略不计求，A、B 粘在一起后能转多少圈？解： A、B 相互作用时间极短，忽略阻力矩，角动量守恒w1d frABMMRABMMR23th (13分) 如图所示， 水平轻绳跨过固定在质量为m1 的水平 物块的一个小圆柱棒后，斜向下联结质量为m2的小物块，设 系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放后，假设两物块 的运动方向如图所示，即绳与水平桌面的a 夹角始终不变，试 求a ，a1和a2。aa1a2a1m1m2m2gT a aTTm1gNyx解：T(1 cosa ) = m1 a1对于m1 ，x 轴方向有 对于m2 ， x 轴方向有 Tcosa = m2 (a1 a2 cosa ) m2g Tsina = m2 a2 sinaa1 = a2 = ay 轴方向有 T(1 cosa ) = m1 a1Tcosa = m2 (a1 a2 cosa ) m2g Tsina = m2 a2 sinaa1 = a2 = acos2a (k+2)cosa +1= 0a1 = a2 = a = g cosa
